數(shù)學(xué)歸納法在高考數(shù)列題中的應(yīng)用

【摘要】高考中用到的數(shù)學(xué)歸納法形式主要是第一數(shù)學(xué)歸納法，雖然在一些高考數(shù)列題中除了用數(shù)學(xué)歸納法來解之外還可以用其他方法，但是作為一種解題的方法，數(shù)學(xué)歸納法在解這些高考題時起到了比較有效的作用.相對于其他方法，解某些數(shù)列題用數(shù)學(xué)歸納法來解，可能思路要順暢一些.因此，在用其他方法受到阻礙的時候，數(shù)學(xué)歸納法不失為一種有效的解決問題的好方法.

【關(guān)鍵詞】第一數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)列；證明

第一數(shù)學(xué)歸納法主要用來證明與整數(shù)有關(guān)的命題，它的步驟如下：

1.設(shè)p（n）是與整數(shù)n有關(guān)的命題，d為一給定的整數(shù)，p（d）成立.

2.對任一k，k∈Zd，Zd={n|n≥d，n∈Z}.

由1，2可知對一切n（n∈Zd），命題p（n）成立.

一、先猜想，后用數(shù)學(xué)歸納法證明的數(shù)列題

例1（2013年廣東卷理科19題） 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1=1，2Sn1n=an+1-113n2-n-213，n∈N.

（1）求a2的值；

（2）求數(shù)列{an}的通項公式；

（3）證明：對一切正整數(shù)n，有11a1+11a2+…+11an<714.

簡解（1）令n=1代入2Sn1n=an+1-113n2-n-213即可得a2=4.

（2）根據(jù)a1=1，2Sn1n=an+1-113n2-n-213，n∈N，就可算出a2=4，a3=9，a4=16，a5=25，…，猜想：an=n2.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1）當(dāng)n=1時，a1=12=1，命題成立.

2）假設(shè)n=k（k≥1）時，ak=k2成立，則當(dāng)n=k+1時有

ak+1=2Sk1k+k213+k+213=2（a1+a2+…+ak）1k+k213+k+213=2（12+22+…+k2）1k+k213+k+213=21k×k（k+1）（2k+1）16+k213+k+213=k2+2k+1=（k+1）2，所以當(dāng)n=k+1時，命題也成立.由1）及2）可知，當(dāng)n∈N時，an=n2.

（3）此不等式仍然可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，但是先要加強結(jié)論，使得不等式的右邊也是關(guān)于n的式子，即證：對一切正整數(shù)n，有11a1+11a2+…+11an<714-11n成立.這樣就可以實現(xiàn)遞推，用數(shù)學(xué)歸納法證明加強后的命題，那么原命題自然成立.

二、加強命題后再用數(shù)學(xué)歸納法證明的題

例2（2008年遼寧卷第21題）在數(shù)列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差數(shù)列，bn，an+1，bn+1成等比數(shù)列（n∈N）.

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測{an}，{bn}的通項公式，并證明你的結(jié)論；

（2）證明：11a1+b1+11a2+b2+…+11an+bn<5112.

分析第（1）問采用了第一數(shù)學(xué)歸納法，第（2）問采用了放縮法，沒有用數(shù)學(xué)歸納法.由于第（2）問右邊的式子與n無關(guān)，因此不能直接用數(shù)學(xué)歸納法，不過可以加強結(jié)論之后再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

證明（1）略.

（2）n=1時，11a1+b1=112+4<5112，不等式顯然成立.現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法來證明，當(dāng)n≥2時，11a1+b1+11a2+b2+…+11an+bn<5112-112n+2.

1）當(dāng)n≥2時，由（1）知an+bn=（n+1）（2n+1）. 當(dāng)n=2時，命題成立.

2）假設(shè)n=k時，命題成立，則n=k+1時，由歸納假設(shè)11a1+b1+…+11ak+bk+11ak+1+bk+1<5112-112k+2+11（k+2）（2k+3）<5112-112k+2+11（k+2）（2k+2）=5112-112（k+2）=5112-112（k+1）+2.所以n=k+1時，命題也成立.

由1）及2）可知，對任何n≥2，不等式11a1+b1+11a2+b2+…+11an+bn<5112-112n+2恒成立.從而對任何n≥2，不等式11a1+b1+11a2+b2+…+11an+bn<5112成立.所以對任何n∈N，11a1+b1+11a2+b2+…+11an+bn<5112.