數學教學中應用函數思想進行解題

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題.函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特征，建立函數關系型的數學模型，從而進行研究.它體現了“聯系和變化”的辯證唯物主義觀點.一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：f（x）、f（x）的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性.在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵.對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型.另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題.

函數知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點.我們應用函數思想的幾種常見題型是：遇到變量，構造函數關系解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數觀點加以分析；含有多個變量的數學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數關系；實際應用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問題也可以用函數方法解決.

1.三角中的函數思想

三角函數也是一種特殊的函數，它除了具有一般的函數性質外，還有其特殊之處，因此運用函數思想來解題會使學生在加深理解的同時，培養與提高其創新思想.

例1若cos2θ+2msinθ-2m-2<0對任意θ恒成立，求m的取值范圍.

解析本題為恒成立問題，從函數思想出發，則轉化為二次函數f（x）=x2-2mx+2m+1=（x-m）2+2m+1-m2 在-1≤x≤1下求m的范圍問題.

2.向量中的函數思想

向量作為數學中的一種工具，有其重要性.它的方向、模與數量積等很容易被遷移到函數問題的情景之中，這樣在加深向量理解的同時，也對函數思想的應用進一步深化.

例2已知向量i=（1，0），j=（0，1），函數f（x）=ax4+bx2+c（a≠0）的圖像在y軸上的截距為1，在x=2處切線的方向向量為（a-c）i-12bj，并且函數當x=1時取得極值.（1）求f（x）解析式；（2）求f（x）單調遞增區間；（3）求f（x）極值.

解析本題為綜合題，它融合了向量、導數等多方面知識，而（1）的解決是問題的關鍵.它要求出f（x）的解析式，需三個條件，在這三個條件中，第二個條件較為復雜，它使導數與向量達到完美的結合，因為（a-c）i-12bj=（a-c，-12b），所以切線的斜率為 -12b1a-1，從而f′（2）=-12b1a-1，實現了向量與函數的轉化.

3.解析幾何中的函數思想

解析幾何的特點就是用代數的方法研究幾何問題，因此代數中方法可以遷移至解析幾何中，而函數思想作為代數中一種常用的思想，在解析中自然有其展示的空間，使得問題簡化.

例3已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB的面積最小值是.

解析對此題我們為明確圓在坐標系中的位置，可把圓配方：（x-1）2+（y -1）2=1，如圖.

如設|PC|=d，由題意可列出SPACB關于PC=d函數式：SPACB=2，SAPC=2×112×1×|PA|=|PC|2-1=d2-1，求函數的最小值得之.

4.復數中的函數思想

復數作為數集的完備形式，其中心是：建立復平面上的點與向量的一一對應關系，使得代數形式與三角形式結合在一起，其輻角最值的問題很容易轉化為函數問題.

例4設z=3cosθ+2sinθ，求函數y=θ-argz （0<θ<π12）的最大值.

解析本題要求角的最大值，只需求角的某一個三角函數即可.

∵0<θ<π12，∴tanθ>0，0

tan（argz）=2sinθ13cosθ=213tanθ，

tany=tan（θ-argz）=tanθ-213tanθ11+213tann2θ=1131tanθ+2tanθ.

由此可轉化為函數求最大值問題.

總之，函數思想是中學數學重要的思想，它不但把數學的各個分支緊緊地聯系在一起，而且能夠培養我們用聯系變化的觀點看待、分析、解決問題的能力，因而函數思想的理解與應用可以說是提高學生綜合素質的一個有效途徑.