一個行列式的計算技巧

【中圖分類號】O151.22【文獻標識碼】A

本文以一個行列式的計算為例，先給出通常的解法，接著針對行列式的結構特點，并利用分塊矩陣的性質，給出了一個非常簡潔的計算方法，從而拓寬了行列式的計算.這也說明一題多解能有效地開發學生的創造靈感，培養訓練學生的發散性思維及創新能力，最終達到提高學生的綜合素質的目標.

本文以下面的這道中科院的考研題為例：

計算n階行列式

Dn=1+a1+x11a1+x21a1+x31…1a1+xn

a2+x111+a2+x21a2+x31…1a2+xn

a3+x11a3+x211+a3+x31…1a3+xn

1111

an+x11an+x21an+x31…11+an+xn.

解法1對Dn的第一列進行拆項，并提公因式

Dn=1+a11a1+x21…1a1+xn

a211+a2+x21…1a2+xn

111

an1an+x21…11+an+xn+

x111a1+x21…1a1+xn

111+a2+x21…1a2+xn

111

11an+x21…11+an+xn

前面的行列式第一列乘（-1）加到第i列，后面的行列式第一列乘（-xi）加到第i列（i=2，3，…，n）；然后前面的行列式第一行乘（-1）加到第i行，后面的行列式第一行乘（-ai）加到第i行（i=2，3，…，n+1）

=1101x21…1xn

-111+a11-11…1-1

-11a2111…10

1111

-11an101…11+x1110111…11

-a111101…10

-a211111…10

1111

-an11101…11

前面的行列式第i列加到第一列，后面的行列式第i列乘（-1）加到第2列（i=3，4，…，n+1）

=1+x2+…+xn101x21…1xn

-n11+a11-11…1-1

01a2111…10

1111

01an101…11+x1111-n111…11

-a111101…10

-a210111…10

1111

-an10101…11

前面的行列式以第一列展開，后面的行列式以第二列展開

=（1+x2+…+xn）1+a11-11…1-1

a2111…10

111

an101…11+n01x21…1xn

a2111…10

111

an101…11+x1（n-1）-a1101…10

-a2111…10

111

-an101…11+x11111…11

-a2111…10

111

-an101…11

=（1+∑n1i=2xi）（1+∑n1i=1ai）-n∑n1i=2aixi+x1（1-n）a1+x1（1+∑n1i=2ai）

=1+∑n1i=2xi+∑n1i=1ai+∑n1i=2xi·∑n1i=1ai-n∑n1i=2aixi+a1x1-na1x1+x1+x1∑n1i=2ai

=∑n1i=1ai·∑n1i=1xi+∑n1i=1ai+∑n1i=1xi-n∑n1i=1aixi+1.

解法2

引理1：設A，B分別是n×m，m×n矩陣，Ik是k階單位陣.則In-AB=Im-BA.

證明因為01Im

In10-1Im1B

A1In01Im

In10=01In

Im10Im1B

A1In01Im

In10=In1A

B1Im，則Im1B

A1In=In1A

B1Im .又因為Im1B

A1In=Im10

-A1In·Im1B

A1In=Im10

-A1In·Im1B

A1In=Im1B

01In-AB，

In1A

B1Im=In10

-B1Im·In1A

B1Im=In10

-B1Im·In1A

B1Im=In1A

01Im-BA，所以Im1B

01In-AB=In1A

01Im-BA.即：In-AB=Im-BA.證畢

令α=（a1，a2，…，an）Τ，χ=（x1，x2，…，xn）Τ，e=（1，1，…，1）Τ∈￡n，則

Dn=In+αeΤ+eχΤ=In-（-α，e）eΤ

χΤ.由引理1得：Dn=I2-eΤ

χΤ-α，e=1+eΤα1eΤe

χΤα11+χΤe=1+∑n1i=1ai1n

∑n1i=1aixi11+∑n1i=1xi=1+∑n1i=1ai1+∑n1i=1xi-n∑n1i=1aixi=∑n1i=1ai·∑n1i=1xi+∑n1i=1ai+∑n1i=1xi-n∑n1i=1aixi+1.

因此對于這個行列式來說，我們不難發現利用分塊矩陣的性質求解要比通常的解法簡潔明了，因此這就為行列式的計算開辟了一個新的計算技巧.