淺談湊微分法的理解及應用

【摘要】湊微分法是微積分學中重要的積分法，初學者難以熟練掌握.本文主要討論其一般規律，并通過舉例來說明如何湊微分.

【關鍵詞】基本積分公式；湊微分；不定積分

計算不定積分的方法很多，湊微分法是比較重要而且常用的方法之一，深刻理解并熟練應用這種方法是學習后繼微積分知識的基礎.本文主要討論其一般規律，并通過舉例來說明如何湊微分.

一、湊微分法的理論依據

例1求∫2cos2xdx.

分析因為cos2x是復合函數，這個不定積分不能用直接積分法求出結果，但可以考慮套用公式∫cosxdx=sinx+C來計算.

∫2cos2xdx=∫cos2xd2x令2x=u1∫cosudu=sinu+C回代u=2x1sin2x+C.

驗證積分結果的正確性：sin2x+C′=2cos2x，積分結果的導數等于被積函數，說明這種積分思路及過程是正確的.

解設u=2x，則du=2dx.

∫2cos2xdx=∫cos2xd2x=∫cosudu=sinu+C=sin2x+C.

解題特點引入新變量u=2x，把原被積表達式化成基本初等函數的微分形式cosudu，再用基本積分公式求出積分結果∫cosudu=sinu+C=sin2x+C.

這種求不定積分的方法具有一般性，其理論依據如下：

設y=F（u）及u=φ（x）都是可導函數，且F′（u）=f（u），則由y=F（u）和u=φ（x）構成的復合函數是y=F[φ（x）].

對函數y=F（u），dy=F′（u）du=f（u）du，

則∫f（u）du=F（u）+C；

對復合函數y=F[φ（x）]， dy=y′xdx=F′（u）u′xdx=f（u）φ′（x）du=f（u）du，即dy=f（u）du，

則∫f（u）du=F（u）+C.

由此可見，不論u是自變量還是中間變量，總有∫f（u）du=F（u）+C.于是得到結論：

如果∫f（x）dx=F（x）+C，而u是x的可導函數，那么∫f（u）du=F（u）+C.

即只要所給積分的被積表達式能湊成f[φ（x）]dφ（x），即f（u）du的形式，就可利用公式∫f（u）du=F（u）+C寫出積分結果.

此結論表明：

在基本積分公式中，自變量換成任何可導函數u=φ（x）時，公式仍成立.這條性質叫做積分形式不變性.這個結論擴大了基本積分公式的使用范圍.

例1中使用的方法，實質上是把微分形式不變性反過來用于不定積分而得到的求積分的方法，這種方法通常叫做第一類換元積分法，也叫湊微分法.

二、湊微分法的定義

一般地，若不定積分的被積表達式能寫成

f[φ（x）]φ′（x）dx=f[φ（x）]d[φ（x）]，

令φ（x）=u，當積分∫f（u）du=F（u）+C時，則有下面的結論：

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）duu=φ（x） =∫f（u）du=F（u）+C=F[φ（x）]+C.

通常把這種積分方法稱為第一類換元積分法，又叫湊微分法.

三、湊微分法的理解

在湊微分法的過程中，變量u在這里處于中間變量的地位，u是x的可導函數u=φ（x），因此這種方法的關鍵也可以說是正確選擇中間變量u.在具體解題的過程中，要注意湊出來的新的積分∫f（u）du要能用直接法求出積分結果，否則就失去了換元的意義.

四、應用舉例

1.湊微分法求解步驟

設∫f（u）du=F（u）+C，運用湊微分法做積分運算時首先將原積分形變為∫f[φ（x）]φ′（x）dx，再按下列步驟進行：

∫f[φ（x）]φ′（x）dx湊微分1∫f[φ（x）]dφ（x）變量代換1φ（x）=u

∫f（u）du計算積分1F（u）+C變量代換1u=φ（x）F[φ（x）]+C.

2.常用的湊微分形式

（1）dx=11ad（ax）=11ad（ax+b）；

（2）xdx=112dx2=112ad（ax2+b）；

（3）11xdx=dlnx；（4）11xdx=2dx；