運算能力及其培養(yǎng)

【摘要】近年來，技校生的數(shù)學運算能力多數(shù)不盡如人意，培養(yǎng)和提高學生的運算能力是廣大技工數(shù)學教育工作者面臨的重要課題.

【關鍵詞】技校生；運算能力

近幾年來常聽到一些專業(yè)課老師說技校學生的運算能力差，有的連最基本的解方程都不會，其水平也就相當于小學水平.我在多年的數(shù)學教學中也發(fā)現(xiàn)，每年每屆學生中都有相當一部分同學存在“聽老師同學講題，一聽就懂”，“遇題時似曾相識，似乎會做，一做就錯”等情況.其實技校學生運算能力差的問題已存在多年，從最近幾屆學生來看，這方面的問題更為突出.作為技校數(shù)學教育工作者，對當前技校學生的運算能力很不盡如人意的狀況不僅僅是驚訝，更多的是擔憂與思考！

運算能力、邏輯思維能力、空間想象力、分析和解決實際問題能力構成數(shù)學中相互聯(lián)系的四項基本能力.學生不能熟記各種數(shù)據(jù)和公式，就無法準確、迅速地進行各種運算；如果對數(shù)學概念或基礎知識的理解不透徹，或根本不懂，就無法選取合理的運算方法，甚至對顯然不合理的運算結果也必然覺察不出……運算能力的這種綜合性特點說明運算能力的培養(yǎng)絕不能離開其他能力的培養(yǎng)而孤立地進行.運算能力是一個綜合性能力，它不可能獨立存在和發(fā)展，而是與記憶能力、理解能力、推理能力、表達能力以及空間想象等其他認識能力相互滲透、相互支撐的.如何提高學生的運算能力呢？下面談一下我的看法.

一、必須準確理解數(shù)學基礎知識，熟練掌握運算法則、公式

因為學生學好數(shù)學基礎知識是提高學生基本能力的前提，所以培養(yǎng)學生的運算能力首先要使學生準確理解和熟練掌握各種運算所需要的概念、性質(zhì)、公式和法則等.例如，化簡：（1-sin2100°）2，如果學生不理解公式a2=|a|和三角函數(shù)值的符號規(guī)律這兩個知識點，就會造成類似下面的錯誤：（1-sin2100°）2=cos2100°=cos100°.而正確的解法是：（1-sin2100°）2=cos2100°=cos100°=-cos100°.若cosα<0，則α∈？好多同學一看，就直接得出α∈Ⅱ或a∈Ⅲ，其實正確的結果是α∈απ12+2kπ

二、提高學生的數(shù)和式的變形能力

運算過程是根據(jù)運算定義及其性質(zhì)從已知的運算對象推導出結果的過程.而推導過程必須利用數(shù)學的數(shù)和式的變形知識，因此，完成數(shù)學運算所需要的基本能力實際上是對數(shù)和式的變形能力，按給定的法則把數(shù)或式的一種表示形式轉(zhuǎn)化成另一種形式的數(shù)或式的恒等變換.例如，按給定的法則可有sin2α+cos2α=1，11n-11n+1=11n（n+1）等，反過來，也可有1=sin2α+cos2α，11n（n+1）=11n-11n+1等，在運算過程中，前者我們經(jīng)常大量使用，而后者是往往忽視的.例如，已知tanα=3，求sin2α-2cos2α的值.如果這樣解：原式=sin2α-2cos2α11=sin2α-2cos2α1sin2α+cos2α=sin2α-2cos2α1cos2α1sin2α+cos2α1cos2α=tαn2α-21tαn2α+1，再進行運算就很簡單了.再比如說求和S=112+116+1112+1120+…+11n（n+1），如果這樣解：原式=111-112+112-113+113-114+…+11n-11n+1也就簡單得多了.

三、提高學生的推理能力

運算是被理解為從集合A到集合B的對應.而運算過程則是實現(xiàn)這種對應的過程.即根據(jù)運算定義及其性質(zhì)從已知數(shù)據(jù)的算式推導出結果的過程.因此，運算過程實質(zhì)上也是一種推理的過程.1+2+3+4+5+…+99+100=？德國大數(shù)學家高斯童年時代的老師在黑板上剛出完題，還沒來得及走出教室，高斯就把答案“5050”寫在自己的草稿紙上，而其他同學只能一下一下地加下去，既慢又容易出錯.為什么高斯能正確而迅速地寫出答案呢？顯然他運用了推理.可能他這樣推理的：1+100=2+99=3+98=…=50+51，所以答案等于101×50=5050.也許他運用了其他的方法，但不管怎么說，他應用了推理.例如，若直線l的傾斜角為α，且sinα=315，則直線l的斜率k=？欲求k，則求tanα， 欲求tanα，又因tanα=sinα1cosα，故求出cosα=±415即可（可能有的同學沒考慮傾斜角α的范圍而錯誤得出cosα=415）.本題中顯然是要求推理十分嚴謹，才能得出正確的結果來.所以要提高學生的運算能力，一定要加強學生推理能力的訓練，在平時解題時，不論大題小題，都要求學生寫出嚴謹?shù)牟襟E來，如果解題過程寫得嚴謹，那么一定程度上推理也相當?shù)煤?所以平時要求學生寫嚴謹?shù)慕忸}過程，對于培養(yǎng)和提高學生的推理能力至關重要.

四、加強運算練習

俗語說：熟能生巧.能力都是訓練出來的.提高學生的運算能力也不例外，必須加強練習，進行嚴格訓練.組織運算訓練，每一項內(nèi)容大體都要經(jīng)歷三個階段：首先是“明其理”，把為什么這么算的道理弄明白；接著是“得其法”，把基本方法學會、熟練；最后才講“通其變”，在各種變化中把方法用活.為了提高運算的速度和準確性，還應要求技校生熟記一些常用數(shù)據(jù)及一些有用的結論：① 1～20的平方數(shù)，1～10的立方數(shù)；②2n（n=1，2，…，10），3n（n=1，2，…，5），5n（n=1，2，3，4）；③簡單的勾股數(shù)組：3、4、5，5、12、13；④特殊角的三角函數(shù)值；⑤2、3、5及π、e常用到的各種近似值；⑥正三角形的高、面積、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑與邊長的關系；⑦lg2+lg5=1；⑧在區(qū)間（0，π14）內(nèi)，sinx與cosx的關系；⑨直線l經(jīng)過一個點P0（x0，y0），當直線l與坐標軸垂直時，方程的特點等結論.例如：已知三角形三邊為24、32、40，求最大角？如果用余弦定理去解，則遇到煩瑣的數(shù)字計算.學生可以觀察分析數(shù)據(jù)的特點，不難發(fā)現(xiàn)這三個數(shù)是一組勾股數(shù)，立即斷定此三角形為直角三角形，故最大角為90°.熟記類似一些常用數(shù)據(jù)及一些有用的結論，可以提高運算的速度和準確性，也就提高了運算能力.

五、提高學生的驗算能力

學生經(jīng)常算錯，是運算能力差的一種表現(xiàn).只要求學生細心些還是不夠的，還要提高其驗算能力并養(yǎng)成驗算結果的良好習慣.學生往往三遍兩遍地還是查不出自己解題中的錯誤，其原因?qū)W生往往只知道一遍一遍地演算，而不知道運用數(shù)學知識從不同的角度來進行驗算.解不等式log3（2x-1）≤2，部分同學可能這樣解：原不等式等價于log3（2x-1）≤log392x-1≤9x≤5，那么就可以找?guī)讉€數(shù)代入原不等式，例如x=0，就可以檢驗其答案的錯誤.還有一些解方程的過程中出現(xiàn)的增根，用驗算的方法更是容易找出增根.指導學生多進行驗算，運用學過的數(shù)學知識從不同角度進行驗算，從各個方面來迅速判斷計算答案的正確與否.這種驗算的習慣可以培養(yǎng)學生自我檢查的習慣，可以培養(yǎng)學生做事腳踏實地的作風，這也是教書中育人的一種體現(xiàn)吧！

以上是本人膚淺的認識，不對的地方，懇請批評指正！

【參考文獻】

[1] 張寶祥.數(shù)學.北京中國勞動社會保障出版社，2005.

[2]十三院校協(xié)編組.中學數(shù)學教材教法總論.北京：高等教育出版社，1987.