探究“函數的極值與導數”

極值反映的是函數在某一點附近的局部性質，而不是函數在整個定義域內的性質，現結合例題說明在理解極值概念及利用導數求極值時需注意的幾個問題.

1.極值點及其附近應有定義，顯然端點及間斷點不可能成為極值點；在（a，b）上單調的函數沒有極值.

2.一個函數在定義域內可以有許多個極小值與極大值，極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小.

3.導數為零的點不一定是函數的極值點；一般情況下在函數的極值點導數都為0，但有時在極值點導數不一定存在.在人教課本選修2-2中29頁有：“一般地，求函數у=f（x）的極值的方法：解方程f′（x）=0，當f′（x0）=0時，（1）如果在x0附近的左側f′（x）>0，右側f′（x） ﹤0，那么f（x0）是極大值；（2）如果在x0附近的左側f′（x） ﹤0，右側f′（x） >0，那么f（x0）是極小值”，并強調“f′（x0）=0是у=f（x）在這點取得極值的必要條件”，要注意“一般地”，可見也有特殊情況，即f′（x） 的定義域與f（x）定義域比較，若縮小了，在x=x0 處導數不一定存在，則f′（x0）=0不一定是函數у=f（x）在這點取得極值的必要條件.判定函數極值點最穩(wěn)妥的方法是：看這一點附近左右導函數符號（或函數單調性）是否相反且函數在這一點是否有意義.

4.在已知極值條件求參數時，當有多組解時，需檢驗.

5.轉化思想的應用：把證明或解不等式問題轉化為求極值或最值問題.

6.分類討論思想的運用.

例1求函數у= 1 +（x-4）213的極值.（應用3）.

分析x=4時у′不存在，但x=4卻是函數的極值點.

解у′=213（x-4）-113，導函數的定義域為（-∞ ，4）∪（4，+∞），在（-∞ ，4）上函數單調遞減，在（4，+∞）上函數單調遞増，且函數本身在x=4有意義，所以x=4時函數取得極小值1.

x1（-∞，4）141（4，+∞）f′（x）1-1不存在1+f（x）1111例2若函數f（x）= x3+mx2+nx+m2在x=1時有極值10，求2m-n的值.（應用4）

解f′（x）=3x2+ 2mx+n，

由x=1時f（x）有極值10，

則f（1）=10，

f′（1）=0.

即1+m+n+m2=10，

3+2m+n=0.

解得m=4，

n=-11，或m=-3，

n=3.

檢驗：當m=4，

n=-11時，

f′（x）=3x2+ 8x-11.

當x∈ -1113，1時， f′（x） ﹤0，

當x∈（1，+∞）時，f′（x）>0.

故x=1時，f（x）取得極小值，2m-n=19.

當m=-3，

n=3時，

f′（x）=3x2- 6x+3=3x-12≥0，

即x=1不是函數的極值點，不合題意.

例3f（x）= 2x3-9x2+12x+8c，若對于任意的x∈[0，3]，f（x）

解f′（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2）=0，x=1或x=2.

x101（0，1）111（1，2）121（2，3）13f′（x）11+101_101+1f（x）18c115+8c114+8c119+8c可見f（x）在[0，3]上最大值為9+8c，對任意x∈[0，3]都有f（x）

解得c的取值范圍為（-∞，-1）∪（9，+∞）.

例4設函數f（x） =lnx+a1x（a∈R），當x∈1，2時，f（x）極值.（應用6）.

解f′（x）=11x-a1x2=x-a1x2=0，即x=a.

當a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在[1，2]上遞增，f（x）不存在極值；

當10，得a

當a≥2時，f′（x）≤0，f（x）在[1，2]上遞減，f（x）不存在極值.