巧用特征方程求數列通項公式

近幾年來，數列問題已經成為各省市高考的一個熱點問題，這也是學生的一個難點，也已經成為各省市高考卷中一道亮麗的風景線.數列中最重要的問題就是對通項公式的求解.特別是在一些綜合問題比較強的問題中，對數列通項公式的求解，往往是大家解決問題的瓶頸.

遞推公式的概念：如果已知數列{an}的第一項（或前幾項），且它的任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式叫做這個數列的遞推公式.有通項公式的數列只是少數，研究遞推數列公式求出數列的方法可使我們研究數列的范圍大大擴展.新大綱關于遞推數列規定的教學目標是“了解遞推公式是給出數列的一種方法，并能根據遞推公式寫出數列的前幾項”.但從近幾年來高考題中常以遞推數列或與其相關的問題作為能力型試題來看，這一目標是否恰當似乎值得探討.考生如何去發現數列的遞推關系，學會如何將遞推公式轉化為數列的通項公式是值得我們思索且應引起重視的問題.此問題要求學生具備較高的數學素質，它不但有較繁瑣的計算過程，而且又是一個綜合能力很強的問題，并且可以和函數、三角、解幾、立幾、向量等綜合命題，也可以有所創新，在這里給大家推薦一種不常用但又很有效的一種方法——特征根法，這種方法適用范圍更廣泛，且解題過程更標準化.本文從一道高考題的解題過程中補充利用特征方程解決相關問題的妙用.希望能對大家有所幫助.

一、問題的背景

1.（2008年廣東卷理科第21題）設p，q為實數，α，β是方程x2-px+q=0的兩個實根，數列{xn}滿足x1=p，x2=p2-q，xn=pxn-1-qxn-2（n=3，4…）.

（1）證明：α+β=p，α·β=q；

（2）求數列{xn}的通項公式；

（3）若p=1，q=114，求{xn}的前n項和Sn.

二、問題的分析

對于上題采用數學歸納法或構造法可以求解，然而歸納法太繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯.構造法形式也比較復雜.這里推薦給學生更易于掌握的解法——特征方程法.

對于由遞推公式an+2=pan+1+qan，a1=α，a2=β 給出的數列{an}，方程x2-px+q=0，叫做數列{an}的特征方程.若x1，x2是特征方程的兩個根，當x1≠x2時，數列{an}的通項公式為an=Axn-11+Bxn-12，其中A，B由a1=α，a2=β決定；當x1=x2時，數列{an}的通項公式為an=（A+B）xn-11， 其中A，B由a1=α，a2=β決定.

三、問題的解決

解法：（1）（3）略，先歸納猜想，后用數學歸納法證明.

（2）利用特征方程求解：

設特征方程x2=px-q即x2-（α+β）x+αβ=0，其特征根為α，β.

設xn=Aαn+Bβn，則有x1=Aα+Bβ=p，

x2=Aα2+Bβ2=p2-q.

當α≠β時，解得A=pβ-p2+q1αβ-α2=-α1β-α，

B=pα-p2+q1αβ-β2=β1β-α.

∴xn=-αn+11β-α+βn+11β-α=αn+1-βn+11α-β（α≠β）=αn+αn-1β+…+αβn-1+βn（*）.

當α=β時，設xn=（C+Dn）αn，易解得C=D=1.

∴xn=（1+n）αn也滿足（*）式.

∴xn=αn+αn-1β+…+αβn-1+βn.

上述的解答方法巧妙，能夠開拓學生的思維.教育心理學理論認為：思維是人腦對事物本質和事物之間規律性關系概括的間接的反映.思維是認知的核心成分，思維的發展水平決定著整個知識系統的結構和功能.因此，開發高中學生的思維潛能，提高思維品質，具有十分重大的意義.青少年時代是一生中最富有活力、充滿想象的時代.開放題往往形式活潑，供學生思考的角度眾多，思維活動的空間寬闊，正好給青少年學生提供了一個展翅的舞臺.發散思維是理解教材、靈活運用知識所必需的，也是迎接信息時代、適應未來生活所應具備的能力.通過此題我們要能舉一反三，觸類旁通.

四、問題的推廣

定義：f（n+k）=a1f（n+k-1）+a2f（n+k-2）+…+akf（n）（*）

其中a1，a2，…，ak為常數，則把（*）式稱為k階遞歸公式.若給定f（1），f（2），…，f（k）這個k初始條件，則（*）式的解難求.

為了求出一般k階遞歸公式的解，我們構造一個首項為1，公比為q的等比數列：1，q，q2，…，qn-1，…，使它滿足k階遞歸公式，且對于f（n）=qn-1（q≠0）有：

qn+k-1=a1qn+k-2+a2qn+k-3+…+akqn-1（**）

則q為（**）式的根.這樣，只要等比數列的公比能滿足（**）式，則它的通項公式f（n）=qn-1為函數方程（*）式的解，我們稱（**）式為k階遞歸公式（*）式的特征方程.