探研含參數問題的求解方法

【摘要】 含參數問題的求解，歷來是高考的熱點，也是難點.它集高中數學的基礎知識及基本技能于一體，能很好地反映出學生思維的靈活性及綜合能力.本文通過對含參數問題的求解方法的探研，希望能對學生掌握這類問題的求解方法有所啟迪和幫助.

【關鍵詞】探研；含參數問題；求解方法

引言

含參數問題所涉及的知識面廣，綜合性強，思維靈活，歷來是高考的熱點，也是難點.僅就2013年全國普通高校新課標卷（貴州等地使用）第Ⅰ卷第12題來說，它就是一個典型的含參數問題，它涉及直角坐標系下的直線方程的應用問題，體現了解析幾何數形結合的思想、函數與不等式的思想方法及分類討論的思想方法，靈活性高，綜合性強，正確率低.筆者試圖通過本文對含參數問題的基本求解方法的探研希望能對學生掌握這類問題的求解方法有所啟發和幫助.

一、從基本概念出發，挖掘內涵，通過推演，討論確定參數的范圍

例1若方程ρ=213-acosθ的曲線是橢圓，則a的取值范圍是.

分析由圓錐曲線極坐標方程標準式知0

例2若a>0且a≠1，當k取什么值時，方程loga（x-ka）=logax2-a2有解？

分析由對數定義知，原方程等價于

x-ka>0，（1）

x2-a2>0，（2）

x2-a2=（x-ka）2.（3）

由（3）得2kx=（k2+1）a，當k≠0時，有x=（k2+1）a12k.

故|cos（α-β）|≤1.

即當k∈（-∞，-1）∪（0，1）時，原方程有解.

二、判別式法及分類討論的思想方法，確定參數的范圍

例3已知拋物線C：y=-x2+mx-1（m∈R）及兩點A（3，0），B（0，3），求使拋物線C與線段AB有且僅有一個公共點的m的取值范圍.

分析設拋物線C與線段AB的交點為P（x，y），點P分AB所成的比為λ，則有定比分點公式知x=311+λ，

y=3λ11+λ.

又由點P在拋物線C上，故有3λ11+λ=-911+λ2+3m11+λ-1，化簡得4λ2+（5-3m）λ+10-3m=0，Δ=（5-3m）2-16（10-3m）=9（m+5）（m-3）.

（1）當m=3即λ=112，或m=-5即λ=-512時，Δ=0.拋物線C與線段AB 相切，為確保P在AB上，即P為AB的內分點m=-5即λ=-512應舍去.

（2）當線段AB交拋物線C于兩點，且AB上有且僅有一個交點，則另一交點必是AB的分點，故有

λ1λ2<0

Δ>010-3m14<0

9（m+5）（m-3）>0m>1013

m>3或m<-5m>1013.

綜上可得m的取值范圍是m=3或m>1013.

三、靈活應用函數的基本性質確定參數的范圍

1.利用單調性確定范圍

例4定義域為區間[-2，2]的函數f（x）既是奇函數又是增函數，試求滿足f（m+1）+f（2m-1）>0的實數m的范圍.

分析f（m+1）+f（2m-1）>0

f（x）是奇函數f（m+1）>-f（2m-1）=f（1-2m）.

又f（x）是定義在區間[-2，2]上的增函數，

故-2≤1-2m≤m+1≤20≤m≤1.此即實數m的范圍.

2.利用有界性確定范圍

例5已知關于x的方程sin2x+cosx+p=0有解，求p的取值范圍.

分析將原方程變形為p=cos2x-cosx-1=cosx-1122-514.

因為|cosx|≤1，所以0≤cosx-1122≤-1-1122=914.

從而p=cosx-1122-514∈-514，1.此即實數p的范圍.

四、數形結合，挖掘幾何條件確定參數的范圍

例6圖1已知方程7x2-k+13x+k2-k=2有兩個實數根分別在（0，1）及（1，2）內，求實數k的取值范圍.

分析令f（x）=7x2-（k+13）x+k2-k-2，由方程有兩個實數根分別在（0，1）及（1，2）內，結合二次函數圖形1不難看出

f（0）=k2-k-2>0

f（1）=7-k-13+k2-k-2=k2-2k-8<0

f（2）=28-2k-26+k2-k-2=k2-3k>0k∈（-2，-1）∪（3，4），此即實數k的范圍.

圖2例7若關于x的方程1-x2=x+m有且僅有一個實根，求實數m的范圍.

分析令y=1-x2，y=x+m，則所求實數m的范圍即是上半圓y=1-x2與直線y=x+m有且僅有一個交點時m的取值范圍.

圖形2不難看出-1≤m≤1或m=2.

例8已知橢圓x214+y213=1上有兩點A，B關于直線y=4x+m對稱，求m的范圍.分析思路一

設AB的中點為x0，y0，則弦AB的斜率k=-3x014y0，由點A，B關于直線y=4x+m對稱可知，AB與直線y=4x+m垂直.又點x0，y0在該直線上，由此有

-3x014y0=-114

y0=4x0+mx0=-m，

y0=-3m.

再由點x0，y0在已知橢圓內部，

故有： -m214+（-3m）213<1-213113

思路二（借助橢圓參數方程）

設A2cosα，3sinα，B2cosβ，3sinβ是橢圓上關于直線l：y=4x+m對稱的兩點，則中點Pcosα+cosβ，312（sinα+sinβ）在該直線上，且AB⊥l，kAB=-114，從而有

312（sinα+sinβ）=4（cosα+cosβ）+m

23（sinα+sinβ）=cosβ-cosα2cos（α-β）=13m2-2.

又|cos（α-β）|≤1|m|≤213113.

（上接91頁）

定理：若f（n）為函數方程（*）的一個解，則af（n）（a為常數）也是函數方程（*）的解.

推論：若f1（n），f2（n）均為函數方程（*）的解，則af1（n）+bf2（n）（a，b為常數）也是函數方程（*）的解.于是，我們通過解與函數對位的特征方程，即可求出函數方程的解.把此方法可以靈活應用在已知數列遞推公式求通項的相關問題上，這樣有助簡化計算，提高解題效率.

五、問題的鏈接

例已知數列{an}中，a1=213，a2=113，且an=213an-1+113an-2（n>2），求an.

解特征方程為：x2=213x+113，其兩根為1，-113，從而可設an=A·1n+B-113n.

又a1=213=A-113B，

a2=113=A+119B，解得A=5112，

B=-314.

∴an=5112-314·-113n.

可以看出，用特征方程求特定類型的遞推數列的通項公式是非常快捷的，對于基礎好的學生，該方法可以是一個很有益的補充.

總之，解決這類題要求學生具有創造性思維，突破常規，打破模式，創造性地解決問題.隨著普通高中課程改革的逐步深入，要求廣大教師在新課標理念指導下，大膽實施課堂教學改革.如何創造性地處理教學內容，無疑是一項十分現實的課題.由于數學知識呈現方式的多樣性、解決問題策略的多選擇性和數學思維的開放性，教師既要加強學習，不斷充實自己的知識結構，做到高屋建瓴而游刃有余，還要不斷提高駕馭教材的能力，“用好教材”，“超越教材”而不拘泥于教材，根據學生的實際情況，因材施教，使學生知其然更知其所以然，幫助學生尋找適合自己的學習方式，“授人以魚不如授之以漁”，在培養學生學習興趣的同時激發學生的思維，時時體味“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的美妙意境.

【參考文獻】

＼[1＼]王高雄，周之銘.常微分方程.北京：高等教育出版社，1982.

＼[2＼]葛軍.新編高中數學奧賽指導.南京：南京師范大學出版社，2007.