行列式與分解因式

每個多項式都可以表示成幾個多項式的和或者差，而每個多項式又可以表示成幾個多項式的乘積，因此利用行列式的定義，就可以將任一多項式表示成一個行列式，進而利用行列式的性質對其進行分析.應用行列式進行分解因式重在構造，利用行列式的性質進行運算，以使得可以提取公因式.

例1在實數范圍內分解因式x3+x2-x+2.

解x3+x2-x+2= x2（x+1）-（x-2）

= x21x-2

11x+1（第一列乘以1加到第二列）

= x21x2+x-2

11x+2

=x21（x+2）（x-1）

11x+2（提取公因式）

= （x+2） x21x-1

111

= （x+2）（x2-x+1）.

注1例1另一種因式分解方法如下：

x3+x2-x+2=（x3+1）+（x2-x+1）=（x+1）（x2-x+1）+（x2-x+1） =（x+2）（x2-x+1）.

例2在實數范圍內分解因式x3+4x2+x-6.

解原式=x2·（x+4）-（-1）·（x-6）

=x21x-6

-11x+4

=x2-112x-2

-11x+4

=（x-1）x+112

-11x+4

=（x-1）（x+2）（x+3）.

注2例2還可以利用尋找有理根法.

例3在實數范圍內分解因式x2+xy-2y2+2x+7y-3.

解原式=（x+2y）（x-y）-（-1）（2x+7y-3）

=x+2y12x+7y-3

-11x-y

=x+2y-113x+6y-3

-11x-y

=（x+2y-1）113

-11x-y

=（x+2y-1）（x-y+3）.

注3例3還可以用雙十字交叉法.

例4在實數范圍內分解因式x5+x+1.

解原式=x3·x2-（-1）（x+1）

=x31x+1

-11x2

=x3-11x2+x+1

-11x2

=（x2+x+1）x-111

-11x2

=（x2+x+1）（x3-x2+1）.

注4例4另一種因式分解方法如下：

x5+x+1=（x5-x2）+（x2+x+1）=x2（x3-1）+（x2+x+1） =（x2+x+1）（x3-x2+1）.

例5在實數范圍內分解因式5x4+24x3-15x2-118x+24.

解原式=x2（5x2+24x-15）-2（59x-12）

=5x2+24x-15159x-12

21x2

=5x2+24x-151-10x2+11x+18

21x2-4

=（x-2）5x2+24x-151-10x-9

21x+2

=（x-2）5x2+24x-1515x2+14x-24

21x+4

=（x-2）（x+4）5x2+24x-1515x-6

211

=（x-2）（x+4）（5x-1）（x+3）.

注5例5還可以利用尋找有理根法.