由遞推關系求通項公式的方法

【摘要】高中代數中由數列的遞推關系求數列的通項公式是一個學習難點，通常學習它應使用最重要的數學方法，即觀察——猜想——證明的方法去解決.但對于具有某種特殊模式的可以用特殊的方法來解決，為此下面以例題的形式總結了一些由遞推關系求通項公式的方法.

【關鍵詞】 遞推關系；通項公式；方法

數列的通項公式an=f（n）反映了數列中的項與序號n之間的對應關系，數列除了用項與序號n的函數關系表示之外，還可通過項與項之間的關系來表示，如：an=nan-1（n>1），其中an表示數列的第n項，an-1表示第n-1項，由此看出數列的這種表示方法是用an，an-1之間的關系式，這個關系式叫做遞推關系.一般地說，一個數列的連續項間的關系叫遞推關系，遞推關系常見有一階遞推關系，如an=f（an-1）（n=1，2，…）和二階遞推關系，如an=f（an-1，an-2）（n=3，4，…）.下面用例題來說明由遞推關系求通項公式的幾種方法.

一、累差法

已知數列{an}滿足an=an-1+2（n-1），（n≥2），且a1=0，求通項公式.

解由an= an-1+2（n-1），得a2-a1=2·1，a3-a2=2·2 ，…，an -an-1 = 2（n-1）.把上面n-1個等式相加，得an-a1=2·1+2·2+…+2（n-1）.∴an=a1+2＼[1+2+3+…+（n-1）＼]=n（n-1）.

二、迭代法

已知數列{an}滿足an=ran-1+qpn-1 ，（n≥2），a，r，q，p為常數，且a1=a，求通項公式.

解an=ran-1+qpn-1=r（ran-2+qpn-2）+qpn-1=…=rn-1a1+q（rn-2p+rn-3p2+…+rpn-2+pn-1）.

∴an=rn-1[a1+（n-1）q]，r=p，

rn-1（a1-q）+q（pn-rn）1p-rr≠p.

三、換元法

（1）線性代換

已知數列{an}中，a1=1，a2=2，an+2=an+1-114an，（n≥1），求通項公式.

解由an+2=an+1-114an（n≥1）得an+2-112an+1=112an+1-112an.

令bn=an+1-112an，把它代入上式，得

bn+1=112bn，bn=b1112n-1，b1=312，∴bn=3112n.

∴an=112an-1+3112n，再由迭代法得

an=112n-1（3n-2）.

（2）倒數代換

已知數列{an}中，a1=2，an+1=an1an+3，求通項公式.

解∵a1=2≠1，∴an≠0.原式化為11an+1=1+31an.令bn=11an，則bn+1=1+3bn，用迭代法得bn=3n-1-112.

∴an=113n-1-112.

（3）對數代換

若數列{an}的項均為正數，而遞推形式如ana0·an-1a1·an-2a2·…·an-kak=B（n>k），這里a0，a1，…，ak均為常數，則取對數得a0lgan+a1lgan-1+…+aklgan-k=lgB.可令bn=lgan，求出bn后再求an.

（4）三角代換

已知數列{an}中，a1=2，an=2+an-1，（n≥2），求通項公式.

解先用數學歸納法證明0

設an=2cosθn0<θn<112π，于是所給遞推式變為2cosθn=2+2cosθn-1=2cos112θn-1.∴θn=112θn-1.再由a1=2，得2cosθ1=2.∴θ1=114π，θn=114π112n-1=112n+1π.

∴an=2cos112n+1π.

四、已知數列{an}的前n項和sn與an 之間的關系，求通項公式

數列{an}的前n項和sn滿足sn=4an-1+2，（n≥2），且a1=1，求{an}的通項公式an及sn.

解由sn=4an-1+2可得sn+1=4an+2（升降階法），

∴sn+1-sn=4an+2-（4an-1+2）.∴an+1=4an-4an-1.

∴an+1-2an=2（an-2an-1）.令bn=an+1-2an，則bn=2bn+1，其中b1=a2-2a1=a2+a1-3a1=s2-3a1=3.∴bn=3·2n-1.∴an+1-2an=3·2n-1.用迭代法，得an=（3n-1）·2n-2.由sn=4an-1+2，得sn=（3n-4） ·2n-1+2.

五、數學歸納法

設正數列{an}前n項的和為sn，且sn=112an+11an，試猜想出an并用數學歸納法證明.

解n=1時， a1=1，n=2時，a2=2-1，同理n=3時，a3=3-2.猜想an=n-n-1.用數學歸納法證明略.

前面我們介紹了一些由遞推關系求通項公式的方法，它們都帶有某種特殊性，因此可以用特殊的方法解決，然而大量的問題并不是具有某種特殊模式的.所以解決這類由遞推關系求通項公式的問題時，應使用最重要的數學方法，即觀察——猜想——證明的方法去解決，當然掌握一些特殊的解法，也是完全必要的.