例談“構造函數”解題的幾種策略

函數與方程數學思想方法是新課標要求的一種重要數學思想方法，構造函數便是其中一種.所謂構造函數，就是運動和變化的觀點，分析了研究具體問題中的數量關系并表示出來利用函數加以研究，從而使問題獲得解決.眾所周知，函數是中學中一個重要的知識，函數的性質千變萬化，所以在解題中，若能構造函數，利用函數的性質，將會給我們的解題帶來很大的方便.下面的例題從構造函數模型的角度出發，看此方法在解題中的應用.

1.證明不等式

例1證明不等式lnx0）.

證明令f（x）=x-lnx，f′（x）=1-11x.

當0

當x>1時，f′（x）>0，y=f（x）在（1，+∞）上為單調增函數.

所以當x=1時，f（x）有最小值f（1）=1>0.

所以f（x）=x-lnx>0，從而x>lnx.

點評根據不等式的特點，在這里巧妙地構造函數f（x）=x-lnx（x>0），利用導數證明函數單調性，然后再利用函數的單調性證明不等式.

變式訓練1已知函數f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8對任意x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求實數a的取值范圍.

2. 三角求值

例2（2008年浙江高考）若cosα+2sinα=-5，則tanα=（）.

分析構造函數f（x）=cosx+2sinx，則f（x）=5sin（x+φ）（其中tanφ=112），因為cosα+2sinα=-5，由三角函數的性質知函數y=f（x）在x=α時取得最小值，也是極小值，所以當x=α時，f′（x）=0，即-sinα+2cosα=0，所以tanα=2.

點評與常規方法相比，該方法顯得巧妙、簡單，但如果不是對問題有深入細致的研究和思考，初學者很難想到這種方法.

變式訓練2求證：3+cos4α-4cos2α=8sin4α.

3.數列求值

例3（必修5第69頁題4（3））求和：Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1，（x≠1且x≠0）.

解構造函數f（x）=x+x2+x3+…+xn，（x≠1且x≠0），由等比數列的前n項和公式得f（x）=x（1-xn）11-x.

因為f′（x）=1+2x+3x2+…+nxn-1，

所以Sn=f′（x），而對f（x）求導，

得f′（x）=1-（n+1）xn+nxn+11（1-x）2=Sn.

點評構造與和式對應的函數，借助函數的性質考察數列的性質，因為數列是特殊的函數，所以對于一些數列問題用函數的思想來解決，往往會有意想不到的效果.

變式訓練3已知數列{an}滿足2an+1=-a3n+3an，且an∈（0，1），證明： an+1>an.

4.綜合應用

例4設f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當x<0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，且g（-3）=0，則不等式f（x）g（x）<0的解集是.

解設函數F（x）=f（x）g（x），依題意，

F（x）是R上的奇函數，且F（-3）=0，

F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x），

所以x<0時，F′（x）>0，即F（x）在（-∞，0）上是單調增函數，結合圖形，可知F（x）<0的解集是（-∞，-3） ∪（0，3 ）.

點評本題是函數奇偶性與單調性等知識在解不等式中的應用，關鍵是揭示f′（x）g（x）+f（x）g′（x）=[f（x）g（x）]′. 觀察到了這一點， 于是構造函數F（x）=f（x）g（x）.

變式訓練4若函數y=f（x）在R上可導，且不等式xf′（x）>-f（x）恒成立，常數a，b滿足a>b，求證：af（a）>bf（b）.

由上我們不難發現，很多數學命題繁冗復雜，難尋入口.若巧妙構造函數，運用函數思想，能使解答別具一格，耐人尋味.