情境教學中的遞推數(shù)列

【摘要】遞推關系是遞推數(shù)列的核心，如果一個數(shù)列的遞推公式確定了，我們可以有很多方法來確定數(shù)列的通項公式.本文主要介紹幾個有實際背景的數(shù)列的遞推關系的確定方法，提高學生解決實際問題的能力.

【關鍵詞】遞推數(shù)列；情景教學；遞推關系

我們在學習數(shù)列時，譬如等差數(shù)列，得到前一項和后一項的關系是：后一項的值等于前一項的值加上一個常數(shù)值.即an+1=an+d（d 是常數(shù)）.說明后項可以是由前項的值通過一定的運算得到的.它們項與項之間都是一種固定的遞推形式相連的.這種數(shù)列我們稱為遞推數(shù)列.后項和前項的關系可以用an=f（an-1），（n≥2）來表示，而解析式an=f（an-1），（n≥2）成為遞推關系式.我們常見的等比數(shù)列an+1=qan，斐波那契數(shù)列an+2=an+1+an（a1=a2=1）等都屬于遞推數(shù)列.我們可以通過遞推關系求出其通項公式.

以下我們通過幾個實例來說明如何找遞推關系，并設法解決我們的問題，提高學生在一定的情境下活學活用這種能力.

第一個例子是古代羅馬尼亞國王招駙馬時出了這樣一個題：

例1 一籃子蘋果不知多少個，第一個人取了籃子中蘋果的一半多半個，第二個人又取了籃子中剩下蘋果的一半多半個，第三、第四、第五個人依次都以同樣的方法取走了蘋果.第五個人取走后，恰好把籃子中的蘋果取完（假定蘋果不能分割），問這籃子蘋果原來有多少個？

分析我們考慮相鄰兩項的關系，我們設第k次取走后剩下的蘋果數(shù)為ak，即有：

ak=ak-1-112ak-1+112=112ak-1-112.

這就是相鄰兩項的遞推關系，我們由a5=0，不難推得a0=31，即原來有31個蘋果.

第二個例子是李政道博士1979年4月到中國科技大學給少年班的同學出的試題.

例2五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡覺，明天再說.一個猴子半夜偷偷起來，把桃子分成五份后多一個，它把多下來的一個桃子吃掉后，收起它自己的一份又去睡覺了，第二只猴子起來后，也像第一個猴子一樣，吃了一個桃子，把剩下的桃子分成五份，把自己的一份收起來后又去睡覺了，第三、第四、第五只猴子都是這樣.問這堆桃子至少有多少個？

分析設這堆桃子的總數(shù)量為a0個，第k個猴子吃掉一個收起一份后還剩ak個，則：

ak=415ak-1-1.

∴ak+4=415ak-1+4.

∴a5+4=4155a0+4.

因為a5+4是整數(shù)，則a0+4必須被55整除.

a0+4=k·55（k為正整數(shù)）.

當k=1時，a0=55-4=3121.

這里重視的是后項和前項的關系.

例3一條直線可以將平面分成兩個部分，兩條直線可將平面分成四個部分，三條直線可將平面分成七個部分……那么n條直線可將平面分成多少個部分？

分析設n條直線最多可將平面分成an個部分，那么an-1和an的關系是什么呢？假定已經有n-1條直線將平面分成an-1個部分了，當加上第n條直線后，這條直線與前面n-1條直線有n-1個交點，截成n段，而每增加一段就增加一個部分，所以增加第n條直線后，增加了n個部分，這樣就得到遞推式：

an=an-1+n=（an-2+n-1）+n=…=a1+2+…+n=1+n（n+1）12.

我們可類比空間，一個平面將空間分成兩個部分，兩個平面將空間分成四個部分，三個平面最多將空間分成八個部分，問n個平面最多將空間分成幾個部分？

分析：同樣可設n個平面將空間分成bn個部分，那么bn和bn-1有什么關系呢？

當n-1個平面把空間分成bn-1個部分后，加上了第n個平面，設為α平面，那么前n-1個平面在α平面上相交了n-1條直線，而這n-1條直線在α平面上最多劃分出了an-1=1+n（n-1）12=n2-n+212個區(qū)域，而每增加一個區(qū)域，就增加了一個空間部分，所以bn=bn-1+n2-n+212.于是：

bn=bn-1+112（n2-n+2）

=bn-2+112[（n-1）2-（n-1）+2]+112（n2-n+2）=…

=b1+112[（22-2+2）+（32-3+2）+…+（n2-n+2）]

=2+112[12+22+…+n2-（1+2+3+…+n）+2（n-1）]

=112n（n+1）（2n-1）16-n（n+1）12+n+1

=（n+1）（n2-n+6）16.

【參考文獻】

＼[1＼]張彬政.用待定系數(shù)法求遞推數(shù)列的通項公式＼[J＼].數(shù)理化學習（高中版），2008（18）：13-15.

＼[2＼]汪帆.利用構造法求數(shù)列通項公式＼[J＼].數(shù)學學習與研究，2012（13）.