解不等式中的數學思想方法

不等式的解法是高考必考內容，主要以選擇題、填空題的形式出現，小巧靈活，形式新穎.另外，在解答題中，從三角函數到函數、從平面到空間無不展示不等式的存在價值和應用價值.同時也是解決其他數學問題的有力工具.不等式問題中蘊含著許多數學思想方法，所以不等式一直都是高考命題的熱點.本文對不等式中的數學思想方法作初步的探討.

一、特值驗證法

解答不等式選擇題，用特值驗證法去解，可省時省力.一般根據條件和備選項確定一個常值，代入題設條件或備選結論中，從而排除不正確選項或找出唯一正確的選項，這種解選擇題的方法稱為特殊值法.

例1不等式4x-x2

A.（0，2）B.（2，+∞）

C.（2，4）D.（-∞，0）∪（2，+∞）

解析由于5不滿足4x-x2≥0，故排除選項B，D；1不滿足4x-x2

二、等價轉化思想

數學問題的求解過程事實上是一個不斷轉化的過程，這個過程體現了“把未知解法的問題化歸到在已有知識范圍內可解”的求解策略.轉化是分析問題和解決問題的重要思維模式.

例2已知函數f（x）=x2-x-a2+a+1的定義域是R，則a的取值范圍是.

解析由題意可知，函數定義域為R，等價轉化為x2-x-a2+a+1恒大于或等于0.

所以Δ=1-4（-a2+a+1）≤0，解得-112≤a≤312.

三、分類討論思想

解答含參不等式是高考的重點，在解題過程中，一般要對參數進行分類討論.分類討論時關鍵要找準討論的標準，如指數和對數式的底數、二次函數的開口方向、與x軸的交點個數等.

例3若log2a1+a211+a<0，則a的取值范圍是（）.

A.112，+∞B.（1，+∞）

C.112，1D.0，112

解析按底數討論如下：

（1）當0<2a<1，

log2a1+a211+a<0，即0

1+a211+a>1時，無解；

（2）當2a>1，

log2a1+a211+a<0，即a>112

0<1+a211+a<1時，

解得112

四、換元思想

對式子比較復雜或具有某些特征的不等式，恰當引入一個或幾個新變量替換原來的某些量，使得原式中僅含有新變量，對新變量求出結果后，再返回求出原變量的結果，通過這樣的變量代換，達到化繁為簡，化難為易，把未知轉化為已知的目的.

例4設a，b∈R，a2+2b2=6，則a+b的最小值是（）.

A.-22B.-5313C.-3D. -712

解析令a=6sinα，b=3cosα，則a+b=3sin（α+φ），其中tanφ=212，所以a+b的最小值為-3.故選C.

五、函數思想

由于不等式的結構特征與函數的單調性有密切的聯系，因此，恰當地構造函數，利用函數的單調性對原不等式進行等價轉化，從而優化不等式的解答過程.

例5已知log112b

A.2b>2a>2cB.2a>2b>2c

C.2c>2b>2aD.2c>2a>2b

解析log112x在區間（0，+∞）上是減函數，

log112ba>c.

又∵函數y=2x在R上是增函數，

∴2b>2a>2c，故選A.

六、方程思想

不等式其實就是將方程的等號改為不等號，那么方程的根就與不等式的解集密切相關，要善于把它們有機地聯系起來.

例6已知關于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集是[-1，2]，求a，b的值.

解析由題意可知，a>0且-1，2是方程ax2+bx+a2-1=0的根，所以a>0，

-1+2=-b1a，

-1×2=a2-11a，解得a=2-1，

b=1-2.

七、數形結合思想

當所求解的不等式有明顯的幾何意義或本身由函數構成，且其對應的圖像容易直觀地畫出時，我們可以借助其圖像的直觀性，直接得到這類不等式的解集，這種求解不等式的方法體現了數形結合思想.

例7（同例1）不等式4x-x2

A.（0，2）B.（2，+∞）

C.（2，4）D.（-∞，0）∪（2，+∞）

解析構造函數y1=4x-x2，y2=x，在同一坐標系下分別作出這兩個函數圖像，兩圖像交點坐標為（2，2），函數y1=4x-x2的圖像位于函數y2=x的圖像的下方部分所對應的解集是（2，4）.