加強解題指導，提高數學課堂教學的有效性

課堂教學中存在一個非常突出的問題是：課堂教學效率不高，過于注重形式，忽略了本質，學生得不到有效的發展.因此，如何提高課堂教學有效性，掌握提高課堂教學有效性的策略或技術，是擺在我們面前的一個永恒的課題.

課堂教學是提高教學質量主渠道.數學課堂教學基本上是圍繞解題進行的，數學教學離不開解題，因此，解題教學的成功與否直接關系到教學是否有效.

1.領悟并掌握常用的解題策略

高考數學考試是在特定環境（考場）下的考試，考試成績（變量）與時間（常量）的關系的處理就顯得特別重要.在解題時，特別是在高考考場上解題時，必須快速解決以下兩個問題：①從何處下手，②向何方前進.而這種能力的形成，離不開平時的大量解題實踐.

差異分析法就是一種行之有效的解題策略.

例1已知a2，b2，c2成等差數列，求證：11b+c，11c+a，11a+b也成等差數列.

分析要證的結論就是11b+c+11a+b=21c+a.可以從幾個方面找差異，并確定消除差異的方法：

①左邊有兩個分式，右邊只有一個分式，從左邊向右邊轉化時，可以使用通分達到這個目的.（解決了“從何處下手”）

②左邊含有三個字母a，b，c，右邊只有兩個字母a，c，從左邊向右邊轉化時，可以通過消去b達到目的.（初步解決了“向何方前進”）

解∵a2，b2，c2成等差數列，∴b2=a2+c212.

11b+c+11a+b=c+a+2b1（b+c）（a+b）=c+a+2b1ab+bc+ca+b2（接下去的目標：約去“c+a+2b”）

=c+a+2b1ab+bc+ca+a2+c212=2（c+a+2b）12ab+2bc+2ca+a2+c2（分子已出現了“2”）

=2（c+a+2b）12b（c+a）+（c+a）2=2（c+a+2b）1（c+a）（c+a+2b）=21c+a.（成功了）

∴11b+c，11c+a，11a+b成等差數列.

通過解題教學，應使學生掌握基本的認知策略，積累解題經驗，提升思維水平.面對一個陌生的問題，我們可以按以下方法制定解題方案：①粗線條地理清框架——審題，明確解題方向；②分清層次——分散難點；③各個擊破——處理好每個細節.

2.一題多解與最優解法

很多數學問題，只要解題者觀察問題的角度、觀點不同，就可以產生不同的解法.

例2已知實數x，y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求①y1x，②y-x，③x2+y2的取值范圍.

角度一代數觀點——視x2+y2-4x+1=0為方程.

①令y1x=t，得y=tx，代入原方程，得（1+t2）x2-4x+1=0.

令Δ≥0，得-3≤t≤3，即-3≤y1x≤3.

②令y-x=t，得y=x+t，代入原方程，得2x2+（2t-4）x+t2+1=0.

令Δ≥0，得-2-6≤t≤-2+6，即-2-6≤y-x≤-2+6.

③令x2+y2=t，代入原方程，得t=4x-1.

由原方程，得x2-4x+1≤0，得2-3≤t≤2+3.

∴7-43≤t≤7+43，即7-43≤x2+y2≤7+43.

角度二三角觀點——原方程即（x-2）2+y2=3，令x=2+3cosθ，y=3sinθ.

①y1x=2+3cosθ13sinθ=t，得3sinθ-3tcosθ=2t，即3+3t2sin（θ+φ）=2t，∴sin（θ+φ）=2t13+3t2.由正弦函數的有界性，得|2t|13+3t2≤1（以下略）.

②y-x=3sinθ-3cosθ-2=6sin（θ+φ）-2（以下略）.

③x2+y2=7+43cosθ（以下略）.

角度三幾何觀點——原方程即（x-2）2+y2=3，表示圓，設P（x，y）是圓上任一點.

①y1x=kOP.

②y-x=t表示直線y-x=t與圓有公共點時，直線在y軸上的截距.

③x2+y2=|OP|2.

例3若直線x1a+y1b=1通過點M（cosα，sinα），則（）.

A.a2+b2≤1B.a2+b2≥1

C.11a2+11b2≤1D.11a2+11b2≥1

解法一（幾何觀點）依題意，得直線x1a+y1b=1與圓x2+y2=1有公共點.

所以1111a2+11b2≤111a2+11b2≥1.

解法二（三角觀點）由條件，得

cosα1a+sinα1b=1asinα+bcosα=aba2+b2sin（α+φ）=absin（α+φ）=ab1a2+b2.

由正弦函數的有界性，得|ab|1a2+b2≤111a2+11b2≥1.

解法三（向量觀點）令m=11a，11b，n=（cosα，sinα），則m·n=1.

又m·n≤|m||n|，11a2+11b2≥111a2+11b2≥1.

解法四（排除觀點，小題小做）當直線與圓x2+y2=1相切時，|a|>1，|b|>1，排除A；當直線與圓相交時，|a|，|b|可以非常小，排除B，C.故選D.

一題多解是一種重要的解題教學方式，可以培養學生的發散性思維.由于每一名學生對知識、方法的理解、掌握程度不同，因此并不是所有的解法都適合所有的學生，關鍵是每一名學生要能從中掌握適合于自己的解法（對于這名同學而言，適合自己的解法就是最優的解法），而且這種方法最好具有普遍意義，即所謂的通法.

例4已知直線l：mx+2y-2m-2=0，圓C：x2+y2-2x-4y+1=0.

（1）求證：直線l與圓C恒交于兩點；（2）求直線l被圓C截得弦長的最大值和最小值.

解法一兩方程聯立，消去y，利用Δ和根與系數的關系解決.

解法二（1）直線方程可以化為（x-2）m+（2y-2）=0，得直線l可定點A（2，1）.

圓C：x2+y2-2x-4y+1=0即（x-1）2+（y-2）2=4，得A（2，1）在圓C內，從而直線l與圓C恒交于兩點.

（2）當直線l過圓心C（1，2）時，弦長的最大值為直徑=4；當l⊥CA時，弦長的最小值為22.

通過一題多解，找到解題長度最短的解法.

3.變式訓練

抓住一個知識點，進行遷移、加深、拓寬、創新，稱之為變式訓練.進行變式訓練可加深學生對所學知識的理解，達到舉一反三的效果，提高思維能力.

例5已知A，B是橢圓C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的長軸的兩個端點，P是橢圓C上的動點，且∠APB的最大值是2π13，則橢圓的離心率是.

直覺和頓悟是數學發現的重要因素.首先，直覺和頓悟在發現有價值的研究對象和問題時具有重要作用；其次，在研究問題有多種思路時，直覺和頓悟能幫助人們快速地從中作出抉擇；再次，當解決問題的邏輯通道阻塞，思路發生中斷時，直覺和頓悟能夠幫助人們打破僵局，另辟全新思路.因此，合情推理的關鍵是直覺和頓悟.

數學既需要嚴密的邏輯證明，也需要合情猜想與合情推理.“猜”是直覺思維的產物，是發明創造的基礎，是人的素質的標志.科學、合理的猜測是數學能力的體現.正如數學教育家波利亞所說：數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看數學是一門系統的演繹科學；但另一方面，創造過程中的數學，看起來更像一門試驗性的歸納科學.

解法一（這是一道填空題，小題小做——直覺）根據直覺和以往的解題經驗，可知：當P點位于短軸端點時（此時P點是位于x軸上方的橢圓弧的中點），∠APB最大.從而b1a=113b21a2=113a2-c21a2=113e=c1a=613.

解法二設P（x0，y0）（y0>0），作PD⊥AB于D，

則tan∠APD=a+x01y0，tan∠APD=a-x01y0，

∴tan∠APB=tan（∠APD+∠APD）

=a+x01y0+a-x01y011-a2-x201y0=ay01x20+y20-a2.

由x201a2+y201b2=1，得x20-a2=-a21b2y20，

∴tan∠APB=ab21（b2-a2）y0.∵b2-a2<0，0

∴當y0=b即P為短軸端點時，∠APB取最大值.

從而b1a=113b21a2=113a2-c21a2=113e=c1a=613.

變式已知A，B是橢圓C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的長軸的兩個端點，若在橢圓C上存在點P，使∠APB=2π13，求橢圓的離心率e的取值范圍.（613≤e<1）