淺談數形結合思想在高中數學解題中的應用

數形結合思想是高中數學的一種基本思想，它具備直觀、形象、簡潔等諸多優點.利用“數”的精確性和“形”的直觀性相結合往往可以化解解題難點，將復雜的圖形問題轉化為簡潔的數量問題，將數量問題通過圖形直觀地表示出來，即可使問題由復雜變得簡單、抽象變得具體，進而便于學生們接受和理解.由此可見，數形結合思想具備強大的功能，能夠在高中數學解題中扮演重要的角色.誠如數學家華羅庚先生所說：“數與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛.數缺形時少直觀，形少數時難入微.”通過數形的相互轉化，將幾何問題用代數的方法處理，或者通過幾何圖形來解決代數問題，不僅能夠對高中生的數學知識進行整合，還能夠增強對他們的創新性思維的培養.本文結合一些實例詳細地闡述了數形結合思想在高中數學解題中的應用.

一、數和形之間有效轉化的方式

從數和形之間的有效轉化方式來看，主要包括了三種，第一種是通過形轉化成數，第二種是通過數轉化成形，第三種是數和形的相互轉化.

對于通過形轉化成數的這種類型來講，主要就是通過所給出的圖形，在經過了仔細的觀察之后，把圖形當中所隱含的數量以及相互關系找出來，從而把這一幾何圖形的基本屬性反映出來.對于通過數轉化成形這種類型來講，主要就是按照題中所給出的假設條件，來把與之相對應的圖形正確地畫出來，并在這一圖形中，把相應的數量關系體現出來，并把數和式之間的本質揭示出來.對于數和形的相互轉化來講，就是通過對數和形的相互對立統一特征的充分利用，來對圖形的形狀作出觀察，來對數和式子之間的結構進行分析，從中產生聯想，將其實現有效轉化，把本身抽象且空洞的東西變得直觀且形象.

二、數形結合思想在高中數學解題中的有效應用

（一）數形結合思想在導數中的有效應用

在高中數學中，導數總會在每一年的高考中出現，現以導數中的函數極值問題以及區間問題的這些題目為例，來對數形結合思想在導數解題中的應用進行分析.比如說，題目是這樣的：假設導數函數f（x）在無窮大區間之內是連續的，并且這一導數函數的圖形如圖所示，這時候，f（x）就有極大值或是極小值.

對于這一題目，我們通過數形結合的思想，可以作出這樣的分析，實際上就是要求這一函數是有極大值還是極小值的情況，而按照圖中f′（x）的圖像，所以，我們需要做的，就是要通過數形結合的思想，按照這一圖像是在橫軸的上方還是下方，來把f′（x）在每一個所給定的點的左右兩側所取得值是正的還是負的作出判斷，通過此，來把f′（x）的符號確定好，最終就能夠把給定的點到底是極大值還是極小值作出判斷.

（二）數形結合思想在概率中的有效應用

對于概率的教學來講，學生要想把概率學好，就必須要先要把事件之間的關系搞清楚，但是，我們知道，對于兩個事件來講，其所存在的關系是比較抽象的，學生要想充分理解是存在困難的，所以，我們就可以通過數形結合的思想，來通過圖形的方式，把事件之間的相互關系體現出來，從而學生就很容易掌握了.

下面我們以互斥事件和互逆事件相互關系為例，舉個例子來說明數形結合思想在概率題目中的應用.

在學生知道了互斥事件的定義之后，學生必然還處于一知半解的狀態，那么，這時候，我們可以通過圖形來進行講解，現列出圖形如右圖.

從右邊圖形中，我們就很容易看出這兩個事件是不可能會同時發生的，因為這兩個事件并沒有重疊的部分，所以，這樣的事件就是互斥事件.同理，教師在幫助學生進行互逆事件的理解的時候，也同樣可以通過圖形來進行，現列出以下圖形.

從右邊圖形中，我們很容易看出，A和A之間是沒有沖抵的部分的，同時，它們兩者之間的和是基本事件，從而我們就可以將這樣的事件理解成為互逆事件.

（三）數形結合思想在集合中的有效應用

1.數形結合思想在集合之間相互關系問題解決中的應用

在通常情況下，我們通過圓來代表集合，如果圓和圓之間有相交，那么，我們就可以判斷這兩個集合是具有公共元素的；那么，毫無疑問，如果兩個圓之間沒有交叉部分，我們就可以判斷這兩個集合是沒有公共元素的.2.數形結合思想在集合相關運算和集合關系問題解決中的應用

這一問題，主要是借助于數軸來解決的，舉個例子：現已知一個集合是A={x|-1

那么，要想使得AB，集合B就應該把集合A覆蓋住，所以，就可以得出下列的式子，即：a≤-1

3a≥3，從而我們可以知道，這一式子是無解的，也就是說不存在這樣的a值.那么，反過來，如果BA，我們就可以得出式子a≥-1

3a≤3

a≠0，而這一式子是有解的，所以說我們可以得出0

總之，“數”和“形”是緊密相連的整體.數形結合的方式，實際上就是把問題的數量關系有機地和空間形式進行結合，通過這樣的結合，來把問題解決，做到數和形之間的相互彌補.只有將“數”和“形”充分結合起來，讓其完全滲入到高中數學解題的過程中去，才能夠切實提升高中生的數學解題能力，才能把復雜的問題變得靈活和簡便.可以說數形結合既是高中數學中一個極為重要的基本方法，也是高中數學解題的一個基本工具.它不僅能夠滿足數學自身發展的需要，還能促進高中生思維過程的簡化，加深學生對數學的理解能力，提升他們的智力水平，培養他們的綜合能力.