例談解析式規(guī)則的函數(shù)值域的求法

函數(shù)值域的求解是高考的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)的形式多樣，不同形式函數(shù)的值域的求法也不同.根據(jù)行為主義心理學(xué)的觀點(diǎn)，學(xué)習(xí)的方式之一就是刺激與反映的聯(lián)結(jié)，所以介紹各種函數(shù)的特征是增強(qiáng)學(xué)生被刺激與能反映的有效途徑，針對(duì)特征給出解法是突破這一難點(diǎn)的有效方法.下面是對(duì)幾種常見(jiàn)函數(shù)值域解法的總結(jié).

1.形如“y=cx+d1ax+b（a≠0）”的函數(shù)，特征：一次函數(shù)與一次函數(shù)商的形式

例求函數(shù)y=-3x+112x-3的值域.

解y=-3x+212x-1=-312（2x-1）+11212x-1=-312+11212x-1，因?yàn)?1212x-1≠0，所以y≠-312.

故函數(shù)值域?yàn)?∞，-312∪-312，+∞.

說(shuō)明此法稱為分離常數(shù)法，能針對(duì)一切兩個(gè)一次的商形式的函數(shù)值域，對(duì)于一般形式y(tǒng)=cx+d1ax+b（a≠0）的值域?yàn)?∞，c1a∪c1a，+∞，即y≠c1a.當(dāng)然這種形式的函數(shù)還可以用反函數(shù)法，原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域，不過(guò)計(jì)算過(guò)于復(fù)雜.

2.形如“y=ax2+bx+c1dx2+ex+f（a2+d2≠0，e2-4df<0）”的函數(shù)，特征：二次函數(shù)（或其中一個(gè)為一次函數(shù)）商的形式

例求函數(shù)y=2x2+4x-71x2+2x+3的值域.

解原函數(shù)可變形為（y-2）x2+2（y-2）x+3y+7=0，當(dāng)y=2時(shí)，13=0不成立，所以y≠2.因?yàn)閤∈R，所以上述關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則有Δ=[2（y-2）]2-4（y-2）（3y+7）≥0，解得-912≤y≤2，而y≠2.故函數(shù)值域?yàn)?912，2.

說(shuō)明此方法稱為判別式法，尤其要注意的是：①函數(shù)的定義域應(yīng)為R；②分子、分母沒(méi)有公因式；③二次方程中只有二次項(xiàng)系數(shù)非零時(shí)，才能使用判別式.

3.形如“y=mx+n±ax+b”的函數(shù)，特征：一次函數(shù)與 “根號(hào)下為一次函數(shù)”的和差形式

例求函數(shù)y=2x+13-4x-3的值域.

解令13-4x=t，則t≥0且x=114（13-t2），原函數(shù)變?yōu)閥=-112t2+t+712=-112（t-1）2+4.當(dāng)t=1時(shí)，ymax=4，當(dāng)t→+∞時(shí)，y→-∞.故函數(shù)值域?yàn)椋?∞，4].

說(shuō)明此法適用于根號(hào)內(nèi)外自變量的次數(shù)為一次（甚至次數(shù)相同）的無(wú)理函數(shù)，一般令ax+b=t，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù).此方法稱為換元法，其實(shí)質(zhì)在于將不熟悉的函數(shù)形式轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)形式.就像人換了不同的衣服，但身高沒(méi)變一樣.

4.形如“y=af2（x）+bf（x）+c（a≠0）”的函數(shù)，特征：二次函數(shù)與函數(shù)f（x）復(fù)合的形式

例求函數(shù)y=sin2x-sinx+2的值域.

解令sinx=t，則-1≤t≤1，于是原函數(shù)變?yōu)閥=t2-t+2=t-1122+714.因?yàn)?1≤t≤1，所以當(dāng)t=112時(shí)，ymin=714；當(dāng)t=-1時(shí)，ymax=4.故函數(shù)值域?yàn)?14，4.

說(shuō)明此方法是簡(jiǎn)單換元與二次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，特別注意找到作為一個(gè)整體的f（x），以及當(dāng)令f（x）=t時(shí)t的范圍.又如y=4x-3·2x+1中應(yīng)令2x=t，此時(shí)t>0.

5.形如“y=f（x）+k1f（x）（f（x）∈R，f（x）≠0）”的函數(shù)，特征：函數(shù)與k倍倒數(shù)的和的形式

例求函數(shù)y=lgx+11lgx-1的值域.

解當(dāng)01時(shí)，lgx>0，此時(shí)y=lgx+11lgx-1≥2-1=1.故函數(shù)值域?yàn)椋?∞，-3]∪[1，+∞）.

說(shuō)明此方法稱為基本不等式法，原理為a+b≥2ab（a，b>0）.要注意的是f（x）必須取得除零以外的所有實(shí)數(shù)，并且f（x）的正負(fù)性明確，必須滿足均值不等式的一正二定三相等的條件.

6.形如“y=a-x+x-b（a+b>0）”的函數(shù)，特征：函數(shù)x的系數(shù)為±1

例求函數(shù)y=1-x+x+3的值域.

解由題知-3≤x≤1時(shí)，令u=1-x，v=x+3.

則u2+v2=4

0≤u≤2

0≤v≤2，且y=u+v，在平面直角坐標(biāo)系uOv中，作出圓弧u2+v2=4和直線y=u+v，如圖所示，由圖可知：2≤y≤22.

說(shuō)明此方法采用了雙換元和數(shù)學(xué)結(jié)合思想，針對(duì)滿足上述結(jié)構(gòu)形式的函數(shù)均可適用，且其解法頗具數(shù)學(xué)味道，直觀明了.

函數(shù)值域的求解從方法上來(lái)說(shuō)，還有三角換元法、構(gòu)造向量法、構(gòu)造幾何圖形法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法、有界性法等.這里只是從函數(shù)解析式的具體形式來(lái)進(jìn)行了總結(jié)，提供了能用通法求解的幾種常見(jiàn)形式，為有效地解決函數(shù)值域問(wèn)題提供了途徑.