基于高考的高中數學總結性教學

【摘要】目前抽象函數一直是高考中的難點，許多學者專家也在對其進行研究探討，找到更優更便捷的方法來解決抽象函數的有關問題，給廣大高中學生提供一把打開高考大門的鑰匙.抽象函數是比較難理解的概念，需要同學們思維活躍，積極思考.這類問題會發展同學們的思維能力，進行更多數學思想的灌溉，對培養學生的創新能力與提高他們的數學素質起著重要的作用.本文主要基于具體例題及例題解法談高中數學總結教學.

【關鍵詞】抽象函數；高考；高中數學；教學

我們把沒有給出具體解析式的函數稱為抽象函數，抽象函數問題的解決可以體現出一名學生的綜合水平及對函數概念和性質的理解.抽象函數的問題也將函數的定義域、單調性、值域、周期性、奇偶性和圖像集于一身，所以是高考中的熱點問題.很多省份的考卷頻出此類問題.但抽象函數一直在高考中困擾著很多學生，它本身的抽象讓學生無從下手.那么作為高中數學教師，我們需研究其特點，找到解題的突破口，讓抽象問題不再抽象.

一、總結抽象函數形式，加強學生記憶

抽象函數的表現形式很多，但大體分為兩類：一般形式與常見函數的抽象函數形式.

沒有具體的解析式，給出函數的特定條件或特點的函數即為抽象函數.形式y=f（x），或有附加條件、定義域等，如：y=f（x），（x>0），這就是抽象函數的一般形式.

常見函數的抽象函數形式：

線性函數形式：f（x+y）=f（x）+f（y）；

指數函數形式：f（x+y）=f（x）·f（y）；

對數函數形式：f（x）+f（y）=f（xy）；

三角函數形式：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），（f（x）=cosx）；

冪函數形式：f（xy）=f（x）·f（y）；

周期函數周期為n形式：f（x）=f（x+n）.

主要是以上幾種形式，給出具體的形式讓學生了解方便記憶，知道抽象函數與基本初等函數在本質上的關聯，讓學生能找到解題的突破口.

二、總結求函數表達式的方法，解答具體例題

所謂求函數表達式是通過抽象函數的形式，利用一些巧妙的方法解設來得到最終的函數f（x）.它可以加深學生對函數知識的理解，掌握函數的性質，提高學生綜合學習的能力和素質.

1.換元法

定義（換元法）利用中間變量替換，表示原自變量x，從而求得f（x）.用換元法求解析式時要特別注意新元的取值范圍.

例1已知fx1x+1=3x+1，求f（x）.

解令x1x+1=t，則x=t11-t.

∵f（t）=3t11-t+1=1+2t11-t，∴f（x）=1+2x11-x.

2.湊配法

定義（湊配法）在已知一個抽象函數與某個解析式相等的情況下，把解析式整理成用新的自變量來表達的代數式，再用換元法可得到f（x）.

例2已知fx+11x=x3+11x3，求f（x）的表達式.

解∵fx+11x=x+11xx2-1+11x2=x+11xx+11x2-3，

∴f（x）=x（x2-3）=x3-3x.

3.待定系數法

定義（待定系數法）確定含有待定系數的解析式，通過題中的已知條件找出關系式中的未知系數.

例3已知f（x）為二次實函數，且f（x+1）+f（x-1）=x2+6x+9，求f（x）.

解設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

則f（x+1）+f（x-1）=a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x-1）2+b（x-1）+c

=2ax2+2bx+2（a+c）

=x2+6x+9，

比較系數得： 2a=1

2b=6

2（a+c）=9a=112，b=3，c=4，

∴f（x）=112x2+3x+4.

4.消元法

定義（消元法）對于已知函數解析式中含有兩個有關聯變量的函數關系式時，常將兩個不同變量的函數關系視為兩個未知數，構造方程再聯立消去其一，從而求解函數的解析式，此種方法也稱“方程組法”.

例4若f（x）滿足2f（x）+f11x=3x，求f（x）.

解在原式中以11x代替x代入2f（x）+f11x=3x.①

得： 2f11x+f（x）=31x.②

聯立①②消去f11x，得f（x）=2x-11x.

三、總結抽象函數特殊解法，解答一般問題

1.線性函數型

線性函數如f（x）=kx（k≠0），抽象型線性函數f（x+y）=f（x）+f（y），其實線性函數型抽象函數是由線性函數抽象得到的函數.線性型抽象函數考查學生綜合能力，需要注意的是它常與函數單調性結合，常用特殊值法來具體深入題中.題略.

2.指、對、冪函數型

（1）指數函數型：f（x+y）=f（x）·f（y），其中f（x）=ax（a>0且a≠1）為原型；

（2）對數函數型：f（x）+f（y）=f（xy），其中f（x）=logax（a>0且a≠1）為原型；

（3）冪函數型：f（xy）=f（x）·f（y），其中f（x）=xn為原型.

抽象函數問題是數學學習中的一大難點，攻破抽象函數的各類問題，有助于提高學生學習的能力.學生如果在學習上能及時總結經驗，歸納積累心得，得出結論，不論是學生的抽象思維能力，還是創新能力，都會有一個很大的提升空間，用更好的解題思想給學生提供一個更廣闊的學習領域.