不定積分湊微分法的思想與教學探析

【摘要】湊微分法是解不定積分的一種重要而又難以掌握的方法.本文給出了這種方法的簡單易懂的一些規律，并將這些規律總結成一種行之有效的解題方法，并用一些典型的例子說明了這種方法的有效性.

【關鍵詞】湊微分法；中間變量；復合函數

湊微分法（也稱為第一類換元積分法）是一種常用且重要的基本積分方法，其方法的運算過程與函數求導過程有著很大的聯系.由于被積函數的復雜性，可選用的公式的多樣性及換元技巧的靈活性，初學此方法的同學們即使了解了方法的整個過程，但是具體解題時會遇到各種各樣的問題，即使是學了此方法很久的同學也深有同感.本文在大量實例的研究基礎上，提出了一種簡單易學的解題方法，此方法可以使初學者更快地入門，進而通過練習，可以很快地掌握湊微分法的基本思想及方法.

一、基本理論與規律

1.湊微分法的主要定理

定理設f（u），φ（x），φ′（x）都是連續函數，函數F（u）為f（u）的一個原函數，則

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f[φ（x）]dφ（x）=f[φ（x）]+C.

2.主要規律

由上述定理，我們可以得到關于湊微分法的基本規律如下：

（1）湊微分法的被積函數一般是一個復合函數和其他函數的乘積形式，這可以作為使用此種方法的重要特征.

（2）此種方法的基本思想是化繁為簡，即通過湊微分和換元將被積函數變為基本初等函數再用公式計算即可.

（3）此方法可看成復合函數求導的逆過程.

二、基本方法

由基本定理和上述規律可見，在學習具體方法之前，首先有幾個準備工作必須完成：

（1）要清楚適用于此類方法的積分要具有什么特征，即在被積函數中一定有復合函數；

（2）常用到的一些湊微分形式必須熟練掌握，如3dx=d（3x+1），xdx=112dx2，11xdx=dln|x|，exdx=dex，cosxdx=dsinx，11x2dx=-d11x等等；

（3）要對每個基本積分公式非常熟悉，以便湊微分后可以準確、快速地寫出積分結果.

基于上述討論，下面給出運用湊微分法解題的基本步驟如下：

（1）找關鍵：觀察被積函數之中是否含有復合函數，若有，找出復合函數中的中間變量u=φ（x），這樣，湊微分就有了目標，φ（x）是否能夠準確地找出來是湊微分法能否繼續進行的關鍵；

（2）湊微分：知道了φ（x），就知道了目標就是湊出dφ（x），再根據被積函數給出的其他部分湊出dφ（x）；

（3）選公式：觀察湊微分之后的積分形式（必要時需換元），確定用哪個基本公式；

（4）寫結果：根據選用的公式寫出積分結果（若換元記得還要還原）.

三、具體例子

下面通過幾個例子來闡述使用上述方法的解題思路.

例1∫11（3x-5）2dx.

分析按照上述方法，第一步，要判定此積分被積函數中是否含有復合函數.顯然，11（3x-5）2=（3x-5）-2為復合函數，故可以找到φ（x）=3x-5.第二步，我們知道了目標是將dx經過湊微分變為d（3x-5）.現將解題步驟書寫如下：

∫11（3x-5）2dx

=113∫11（3x-5）2d（3x-5） （確定使用的公式為∫11u2dx=-11u+C）

=-113·113x-5+C.

例2∫11x（1+2lnx）dx.

分析被積函數11x（1+2lnx）可看成乘積11x·111+2lnx，其中111+2lnx=（1+2lnx）-1為復合函數，則此題的φ（x）=1+2lnx.目標為湊出dlnx，而做到這一點非常容易.具體過程如下：

∫11x（1+2lnx）dx

=∫111+2lnx·11xdx

=∫111+2lnxdlnx

=112∫111+2lnxd（1+2lnx）（確定使用的公式為

∫11udx=lnu+C）

=112ln1+2lnx+C.

當然，我們提出的方法在具體使用中遠不止像上面兩例那么簡單.比如下面的例子.

例3∫sinxcosx11+sin4xdx.

分析我們還是按照上述方法進行分析.被積函數sinxcosx11+sin4x可看成乘積111+sin4x·sinxcosx，其中復合函數部分為111+sin4x，故要找到φ（x）=1+sin4x.