雙重最值問題的解法初探

【摘要】雙重最值是指研究函數(shù)最值的最大值（或最小值）問題，近幾年來在高考和數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)的比較多，例如今年遼寧的第11題，本文通過一些典型題例對解決雙重最值問題的方法進(jìn)行了一定的初探和歸納.

【關(guān)鍵詞】最值；轉(zhuǎn)化；放縮；不等式

雙重最值是指形如y=min{max{f（x1），f（x2），…，f（xn）}}或者y=max{min{f（x1），f（x2），…，f（xn）}}等形式的最值問題，近幾年來在高考、數(shù)學(xué)競賽和高考模擬中悄然興起，根據(jù)函數(shù)中所含自變量的多少又可以分為一元雙重最值和多元雙重最值，本文通過對一些典型例題的解題策略進(jìn)行了一定的探究只為了拋磚引玉.

一、一元雙重最值可以通過圖像求最值

例1對于任意x∈R，f（x）=max-x+3，312x+112，x2-4x+3，求f（x）的最小值.

分析對一元雙重最值可以構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合，從圖像上很直觀地求解，簡化解題過程.

解由題意可以在同一直角坐標(biāo)系中畫出f（x）=-x+3，f（x）=312x+112，f（x）=x2-4x+3，由圖像可知f（x）的解析式為：

f（x）=x2-4x+3，x<0，

-x+3，0≤x<1，

312x+112，1≤x<5，

x2-4x+3，x≥5，

由圖像知：在x=1處，f（x）取得最小值，f（x）min=2.

例2（2013遼寧）已知函數(shù)f（x）=x2-2（a+2）x+a2，g（x）=-x2+2（a-2）x-a2+8.設(shè)H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值，記H1（x）得最小值為A，H2（x）得最大值為B，則A-B=（）.

A.a2-2a-16B.a2+2a-16

C.-16D.16

分析先通過作差h（x）=f（x）-g（x）來比較f（x），g（x），分別解出h（x）=0，h（x）>0，h（x）<0的情況，數(shù)形結(jié)合，利用先定義的H1（x），H2（x），分別求出A，B.

解h（x）=f（x）-g（x）=x2-2（a+2）x+a2-[-x2+2（a-2）x-a2+8]=2（x-a）2-8.

①當(dāng)h（x）=0時，即x=a±2時，f（x）=g（x）；

②當(dāng)h（x）>0時，即xa+2時，f（x）>g（x）；

③當(dāng)h（x）<0時，即a-2

綜上所述：（1）當(dāng)x≤a-2時，則

H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），

H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）.

（2）當(dāng)a-2≤x≤a+2時，則

H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），

H2（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）.

（3）當(dāng)x≥a+2時，則

H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），

H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）.

故A=g（a+2）=-[（a+2）-（a-2）]2-4a+12=-4a-4，B=g（a-2）=-4a+12，

∴A-B=-4a-4-（-4a+12）=-16.

點評本題考查了一元二次函數(shù)的圖像、作差法和數(shù)學(xué)結(jié)合的思想，對于一元雙重函數(shù)通過函數(shù)圖像可以優(yōu)化解題過程，是一種比較理想的解題方法.

二、多元雙重最值問題樹立整體的觀念，常轉(zhuǎn)化為不等式求解

對于多元雙重最值函數(shù)可以采取整體的思想，即從整體上去研究多元函數(shù)，以免研究每一個孤立的函數(shù)帶來的分類討論，再轉(zhuǎn)化為不等式，利用處理不等式的一些技巧可以簡化解題的過程，下面淺談多元雙重最值問題的幾種處理技巧.

1.轉(zhuǎn)化為同向不等式（同號）疊乘法

例3已知a>0，b>0，且h=mina，b1a2+4b2，其中min{a，b}表示a，b中較小的數(shù)，則h的最大值是.

分析根據(jù)給出函數(shù)定義：h≤a，h≤b1a2+4b2，a>0，b>0，利用不等式性質(zhì)進(jìn)行放縮.

解因為h=mina，b1a2+4b2，故h≤a①，且h≤b1a2+4b2②，因為a>0，b>0，兩式相乘得：

h2≤ab1a2+4b2≤ab124a2b2=114，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時，hmax=112.

例4（2013南通二模）設(shè)實數(shù)x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1x2x3x4x5=729，則M=max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是.

解∵M(jìn)≥x1x2，且x2是不大于1的實數(shù)，∴M≥x1①，同理M≥x5②.

又∵M(jìn)=max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}，∴M≥x1x2③，M≥x2x3④，M≥x3x4⑤，M≥x4x5⑥，將①～⑥式相乘：M6≥（x1x2x3x4x5）2=7292，∴M≥9，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x3=x5=9，x2=x4=1時，Mmin=9.

小結(jié)通過上述兩個例子我們可以看出：當(dāng)M=max{x1，x2，…，xn}，x1，x2，…，xn同號時，不妨假設(shè)x1，x2，…，xn∈R+，題目已知條件是有關(guān)自變量的積之間的關(guān)系式時，可考慮M≥n1x1·x2·…·xn，這是解決多元雙重最值的一個有效的策略.

2.轉(zhuǎn)化為同向不等式疊加法

例5設(shè)x，y∈R+， M=max{|x+y|，|x-y|，|1-y|，|1-x|}，則M的最小值是.

分析確定基本變量（自變量）的大小關(guān)系，減少多個變量大小關(guān)系的可能性，利用絕對值不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮求最值.

解∵x，y∈R+，∴|x-y|≤|x+y|，

∴M=max{|x+y|，|x-y|，|1-y|，|1-x|}=max{|x+y|，|1-y|，|1-x|}，

∴M≥|x+y|①，M≥|1-y|②，M≥|1-x|③，

①+②+③式得：3M≥|x+y|+|1-y|+|1-x|≥|x+y+1-y+1-x|=2，∴M≥213，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=113時，Mmin=213.

小結(jié)當(dāng)M=max{x1，x2，…，xn}時，可考慮M≥11n（x1+x2+…+xn），這是解決雙重最值的又一重要策略.

3.樹立整體觀念，建立關(guān)于最值的不等關(guān)系

例6設(shè)x>1，y>1，S=min{logx2，log2y，logy（8x2）}，則S的最大值是.

分析本題主要考查不等式的性質(zhì)，利用不等式進(jìn)行放縮，構(gòu)造出關(guān)于S的不等式解決問題，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化與運算的能力.

解∵x>1，y>1，由題意知：

S≤logx2=11log2x，①

S≤log2y，②

S≤logy（8x2）=log28x21log2y=3+2log2x1log2y.③

將①②兩個不等式代入不等式③，∴S≤3+21S1S，

∴S3-3S-2≤0，∴（S-2）（S+1）2≤0，∴S≤2，

當(dāng)且僅當(dāng)logx2=log2y=2時，即x=2，y=4時等號成立，∴Smax=2.

4.利用多元函數(shù)中自變量的對稱性進(jìn)行不等式的放縮

例7（2005上海數(shù)學(xué)競賽）實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=0，且x2+y2+z2=1，記m為x2，y2，z2中最大者，則m的最小值為.

分析根據(jù)函數(shù)解析式中自變量x，y，z的對稱性，不妨設(shè)出m，進(jìn)行不等式的放縮.

解不妨設(shè)z2最大， ∵x+y+z=0且x2+y2+z2=1，∴2z2=1+2xy.∵x+y+z=0，z2≥x2，z2≥y2，∴z與x異號，z與y異號，∴xy≥0，∴2z2≥1，∴z2≥112，即m≥112.

本文主要對雙重最值問題的處理進(jìn)行了初步的探究：一元雙重最值通常可以通過圖像法、數(shù)學(xué)結(jié)合，比較直觀簡潔地求解；多元函數(shù)的雙重最值關(guān)鍵要形成整體的思想，轉(zhuǎn)化為不等式，利用處理不等式問題的常用處理方法如同向不等式相加、相乘（同號）、放縮等方式達(dá)到求最值的目的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊文學(xué).一類雙重最值問題的求解[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2004（10）：23-24.

[2]王根章.雙重最值的兩個結(jié)論及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊，2019（7-8）：33.

[3]沈杰.一類雙重最值問題的簡解[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2005（15）.