一個歸納推理例題的變形與證明

蘇教版選修2-2的第92頁有這樣一道例題：

原題：“在平面上畫n條直線，其中任意兩條直線都不平行，且任意3條直線不共點.問：這n條直線將平面分成多少個部分？”

教材中給出了先歸納猜想后用歸納法證明的一個解題方法.借用題目中的解題思想我們還可以用下面的方法求解.

n=1 n=2 n=3 n=4

解記n條直線將平面分成的部分數為f（n），（n≥1）.

1條直線將平面分成兩個部分，即f（1）=2；

n條直線將平面分成f（n）個部分，當增加第n+1條直線時，由題目要求可知前n條直線和第n+1條直線會有n個新交點.這n個新交點將第n+1條直線分成n+1段.而這n+1段將第n+1條直線所經過的區域分成兩個部分，即平面內的區域新增加了n+1塊.

所以f（n+1）=f（n）+（n+1），也就是f（n+1）-f（n）=n+1.

利用疊加法，將

f（1）=2，f（2）-f（1）=2，f（3）-f（2）=3，…，f（n）-f（n-1）=n.各式相加即可得：f（n）=1+n（n+1）12，（n∈N且n≥2）（*）.經驗證，當n=1時也符合（*）式，所以f（n）=1+n（n+1）12，（n∈N）.即這n條直線將平面分成1+n（n+1）12個部分.

評析本題解題思路中最大的亮點在于新增區域的數量的突破.本題抓住了新增直線在切割區域時也被截成若干段，新增區域數等于直線被截成的段數.

變題1如果將該問題拓展到空間中即可變為另一個題目

“在空間內有n個平面，兩兩相交，交線中的任意兩條都不平行，且任意3條交線不共點.問：這n個平面將空間分成多少個部分？”

分析類比“原題”解法中的分析思路，研究當第n+1個面加入進來后，它會被原來的平面分成多少個區域，為每一個區域都把第n+1個面所經過的空間分成兩個部分，所以新增加的空間部分數等于第n+1個面被分成的區域個數.

n=1 n=2n=3

解記n個平面將空間分成的部分數為f（n），（n≥1）.

1個平面將平面分成兩個部分，即f（1）=2；

n個平面將空間分成f（n）個部分，當增加第n+1個平面時，由題目要求可知前n個平面和第n+1個平面會有n條新的交線.這n條新交線都在第n+1個平面內，由“原題”的結論可知，這n條新交線把新加入的第n+1個面分成112（n2+n+2）個區域.而這112（n2+n+2）個區域將第n+1個平面所經過的空間部分又分成兩個部分，即空間內新增加了112（n2+n+2）個部分.

所以f（n+1）-f（n）=112（n2+n+2），

利用疊加法，將f（1）=2，f（2）-f（1）=112×（12+1+2），f（3）-f（2）= 112×（22+2+2），…，f（n）-f（n-1）=112×[（n-1）2+（n-1）+2].各式相加即可得：

f（n）=112×（n-1）n（2n-1）16+n（n-1）12+2n+2=116（n3+5n+6），（n∈N且n≥2）（*）.

經驗證，當n=1時也符合（*）式，所以f（n）=116（n3+5n+6），（n∈N）.

即這n個平面將空間分成116（n3+5n+6）個部分.

變題2“球面上有n個大圓，任何兩個大圓都相交，其中任何3個大圓不交于相同的線.問：這n個大圓將球面分成多少個部分？”

分析本題貌似與“變題1”更接近，其實仔細分析發現本題仍然是“線分面”的問題，與“原題”屬于同一類型.“變題1”屬于“面分空間”的問題.

所以我們應重點分析第n+1個大圓被截成幾段.

n=1n=2n=3 n=4

解記n個大圓將球面分成的部分數為f（n），（n≥1）.

1個大圓將球面分成兩個部分，即f（1）=2；

n個大圓將球面分成f（n）個部分，當增加第n+1個大圓時，由題目要求可知前n個大圓和第n+1個大圓會有2n個新交點.這2n個新交點將第n+1個大圓分成2n段.而這2n段將第n+1個大圓所經過的區域分成兩個部分，即球面上新增加了2n塊區域.

也就是f（n+1）-f（n）=2n.

利用疊加法，將

f（1）=2，f（2）-f（1）=2×1，f（3）-f（2）=2×2，…，f（n）-f（n-1）=2×（n-1）.各式相加即可得：f（n）=n2-n+2，（n∈N且n≥2）（*）.經驗證，當n=1時也符合（*）式，所以f（n）=1+n（n+1）12，（n∈N）.即這n個大圓將球面分成1+n（n+1）12個部分.

其實這個也是我們常說的“n刀切西瓜，最多可以得到多少瓣帶皮西瓜”的問題.

通過這樣三個題目可以總結出這樣的規律：一條線（面）在分割面（空間）時，本身也被分割，其本身被分割的段（塊）數即為它所分割的面（空間）數.理解這樣的道理后，我們在解決類似的分割問題時就有了清晰的分析思路了.