反三角函數極限的另一種解法

【摘要】根據高職學生的特點，對反三角函數的教學不需要讓他們記住圖像與性質，如求反三角函數的極限問題可通過三角函數的圖像來解題.

【關鍵詞】高職數學；反三角函數；三角函數圖像；求極限

高職數學怎么教是不少老師時下較頭疼的一個問題.高職教育不同于普通高校本科教育，而且數學又是一門邏輯性非常強的學科，如果我們把傳統的教學方法用在高職數學教學中，就會出現學生難學、老師難教，學生、老師都抱怨的場面，其結果是可想而知的.下面以反三角函數為例，談一談自己的做法.

在高等數學中的六種基本初等函數中，反三角函數是最難掌握的內容.事實上很多同學在學完反三角函數的圖像與性質后都不太記得清甚至記不得這部分內容了.但正弦、余弦、正切、余切這四個三角函數就不一樣了.這部分內容學生在高中已經學得非常扎實，又做過大量練習，所以幾乎所有的學生都能記得這四個三角函數的圖像和性質.

那我們能不能通過三角函數來解決反三角函數的相關問題呢？如果可以的話，那我們一開始就不用學生去死記反三角函數的圖像和性質了.在看到反三角函數這個名詞時，學生馬上就會有一個反饋：這是三角函數的反函數.此時，我們有兩個問題一定要問學生：“1.三角函數在其定義域上有沒有反函數？2.什么樣的函數有反函數？”這樣我們就明確了三角函數只有在某個單調區間上才有反函數，而且是在某個特定的單調區間上的反函數才稱之為對應的反三角函數.如正弦函數y=sinx在-π12，π12上的反函數稱為反正弦函數y=arcsinx，從而可得反正弦函數y=arcsinx的定義域為[-1，1]，值域為-π12，π12.其余三個反三角函數不再敘述.通過運用讓學生在解題過程中對反三角函數的性質進一步鞏固.

下面我們來看如何用三角函數的圖像求反三角函數的極限.

例1求limx→-∞arctanx.

解令y=arctanx.（1）

則x=tany， y∈-π12，π12.（2）

注意（2）式中的x與（1）式中的x是同一x，y也一樣.

畫出x=tany，y∈-π12，π12的圖像：（因為在這個函數中y是自變量，所以橫軸用y表示）

由圖可見，當x→-∞時，y→-π12.

故limx→-∞arctanx=-π12.

例2求limx→+∞arccotx1x.

解（一）由反三角函數的性質知，arccotx是有界函數（0

而當x→+∞時，11x是無窮小量，

由無窮小的性質知，limx→+∞arccotx1x=0.

當學生忘了反三角函數的性質時，我們怎么求極限呢？

解（二）用類似例1的方法求出limx→+∞arccotx=0（不再重述），

∴limx→+∞arccotx1x=limx→+∞arccotx·limx→+∞11x=0×0=0.

【參考文獻】

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