高中數學數形結合之“以形助數”應用淺探

【摘要】數形結合是高中數學解題中常用的思想方法，其好處是使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質.本文從其特點和在高中數學應用的規(guī)則談起，以期得出高中數學有效的解題思路和方法.

【關鍵詞】高中數學；數形結合；應用探討

新課程理念要求我們在教育教學中激發(fā)學生的興趣，突出學生自主學學習能力的提高，養(yǎng)成他們良好的學習習慣和學習技能.數形結合是高中學生在數學學習中要掌握的一種重要方法和解題思想.

一、準確理解概念，思考運用方向

數形結合是數學學科一種解題的思路，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形之間相互轉化，從而得出解決數學問題的思想.數形結合思想有著一定的運用范圍，一般來說，在初中主要是實數與數軸上的點的對應關系，函數與圖像的對應關系；而我們的高中主要是在函數與圖像、曲線與方程和幾何元素和幾何條件為背景下或是所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義的情況下，依據對應關系而運用數形結合進行解題.

數形結合包含著“以形助數”和“以數助形”兩個思路，主要是代數問題的幾何解法，或者相反，即幾何問題的代數解題.下面，我們從函數圖像和幾何圖形兩個方面，探討“以形助數”在解決問題中的巧妙應用.

二、把握遵循原則，凸顯應用效果

數形結合的應用遵循一定的原則，主要有等價、雙向性、簡單性原則.即“數”的代數性質與“形”的幾何的轉化應是對應的，對應關系應具有一致性；幾何形象直觀的分析，進行代數計算的探索；數形轉換時盡可能使構圖簡單合理，即使幾何形象優(yōu)美又使代數計算簡潔.如“方程x113=2sinx的實數根的個數為（）”的解答中，就體現著上面的三個原則.通過圖像法，作函數y=x113與y=2sinx的草圖.通過圖像可以知道實數根的個數是9個.“以形助數”思想不僅在通過函數的圖像解決方程根的分布情況問題中應用，還在不等式等問題的解決中得到廣泛應用.

1.不等式轉化成“形”，形象直觀中求解

我們在數學解題中要有清晰而敏銳的思維，對于一些常規(guī)方法無法很快求解的問題要想到應用數形結合思想.對于有些含有幾何意義的題目能夠很快聯想到運用什么樣的“形”來解決.

如：設變量x，y，z在區(qū)間（0，1）中取值，試證：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

該題本題直接證明看似不太好操作，這時候，我們要有數形結合的思維.由左邊輪換式可想到面積計算的問題，由于變量x，y，z在區(qū)間（0，1）中取值構造一個邊長為1的正三角形.將這些關系統一在一個不等式中，可得到：設正三角形ABC邊長為1，設點A1，B1，C1分別在邊BC，CA和AB上，且有AC1=x，CB1=y，BA1=z，則BC1=1-x，CA1=1-z，AB1=1-y；S△AB1C1=314x（1-y），S△CA1B1=314y（1-z），S△BA1C1=314z（1-y）；S△AB1C1+S△BA1C1+S△CA1B1

即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1，結論得證.

當然，我們要具備一定的轉化基礎，如單位圓的有向線段表示角的正弦線，余弦線，正切線等等知識要能夠靈活運用；如此，利用三角函數線可做出對應三角函數的圖像的數形結合思想解決三角不等式問題，即利用單位圓中的有向線段表示三角函數線，應用它解決三角不等式問題，就非常輕松，顯現出數形結合中

2.巧妙求解復數問題，掌握可轉換形式

我們知道數形結合是有原則的，只要是題目中具備數形轉化特點的題目，我們都要往這方面思考，否則，我們可能花了很大力氣也無法得出正確的解題思路好結果.

如“x的2次方程x2+z1x+z2+m=0中，z1，z2，m均為復數且z21-4z2=16+20i，設這個C方程的兩個根為α和β，滿足|α-β|=27，求m的最大值、最小值.”題，我們首先想到的是韋達定理，可得出（α-β）2=（α+β）2-4αβ=z212-4z2-4m.然后運用“以形助數”思想，可以得出復數m在以A（4，5）為圓心，7為半徑的圓上；從而求出最值.

總之，我們在教學中要不斷指導學生數形結合思想的運用，養(yǎng)成學生“數”、“形”結合的思維習慣，從而提高他們數形結合，特別是以形助數思維的能力，從而能夠根據數量關系和空間形式巧妙結合，獲得解題思路，獲得數學思維和解題能力的提高.

【參考文獻】

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[2]許鏡.數形結合思想在高中數學中的應用＼[J＼].數學學習與研究.2012，（17）.