探討高中數學向量中三點共線問題

向量是既有大小又有方向的量，所以向量問題特點是既有代數的運算，又需要有幾何圖形的解讀，可謂數形結合的典范，但又不同于思想方法中的圖像問題，所以向量中常見模型——三點共線問題，下列舉一二，與大家討論一下！

1.共線定理a與b（a≠0→）共線b=λa

在學習向量之初學生更多關注于數量的分析，即b=λa，而忽略a與b共線的特點，特別是如AB=λAC，因為AB，AC存在公共點A，故A，B，C 三點共線

例1AB=（2，1），BC=（-1，3），CD=（k，2），若A，C，D三點共線求k的值.

解析AC=AB+BC=（1，4），CD=（k，2）k=112

2.三點共線定理：A，B，C（不重合）三點共線OA=λOB+μOC且λ+μ=1（O為平面內任意一點）

證明∵ A，B，C三點共線，

∴AB=mAC，

∴OB-OA=m（OC-OA），

∴OA=m1m-1OC+-11m-1OB.

令λ=-11m-1，μ=m1m-1，

得OA=λOB+μOC且λ+μ=1（O為平面內任意一點）

∵OA=λOB+μOC且λ+μ=1（O為平面內任意一點）

∴OA=λOB+（1-λ）OC.

OA-OC=λ（OB-OC），

∴CA=λCB得證 A，B，C三點共線.

O為平面內任意一點，定理可解讀為：若三點共線，則OA，OB，OC中任意向量均可由另兩個向量線性表示，且系數之和為1.

例2已知OA=xOB+113OC，且A，B，C三點共線，設AB=kBC，求k的值.

解析由三點共線定理可得x=213，

∴OA=213OB+113OC，

∴213OA-213OB=113OC-113OA，

∴BA=112AC，易得AB=-113BC.

例3已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=3，x+2y=1，若AO=xAB+yAC（xy≠0），則cos∠BAC=.

解析整合AO=xAB+yAC與x+2y=1，就能和共線定理建立聯系，于是條件變為AO=xAB+2yAD（D為AC中點），由 x+2y=1，所以B，O，D三點共線.

又因為O是△ABC的外心，為中垂線交點，易判斷△ABC為等腰三角形AB=BC=2.

再用余弦定理，解三角形得cos∠BAC=314.

3.以三點共線為軸破解問題

例4已知△ABC，點G為重心，過點G做任一直線交邊AB，AC分別于E，F，設AE=xAB，AF=yAC，求證：11x+11y=3.

解析x，y為邊AB，AC上向量的比例系數，故需要讓兩邊上的向量建立直接關系，在變化的過程中，E，G，F三點共線是不變的，并且AE，AG，AF滿足共線定理內容模型，設D為BC的中點，

AD=112AB+112AC，AG=213AD.

312AG=112AB+112AC，代入AE=xAB，AF=yAC，

∴AG=AE13x+AF13y.

∵E，G， F三點共線 ，∴ 113x+113y=1.

變式題已知△ABC，點O為BC邊中線AD的中點，過點O做任意直線交邊AB，AC分別于E，F，設AE=xAB，AF=yAC，求x+y的最小值.

解析由例三可知x，y必存在定量關系

AD=112AB+112AC，AO=112AD.

2AO=112AB+112AC代入AE=xAB，AF=yAC，再由三點共線定理得11x+11y=4.

再由基本不等式運算即可！其實，O為平面內任意一定點，均可根據三點共線理論，找出系數的定量關系！

以上幾例都是三點共線一類，模型典型，只要再審題中能認清結構特點，緊扣三點共線定理的定量關系，問題便容易解決.