關(guān)于閉區(qū)間套定理?xiàng)l件及其應(yīng)用

【摘要】閉區(qū)間套定理是實(shí)分析中的一個(gè)重要定理，它同聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理、確界原理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則一樣都反映了實(shí)數(shù)的完備性，本文對(duì)閉區(qū)間套定理的條件借助閉區(qū)間套定理有良好的構(gòu)造性，因而使閉區(qū)間套定理有了更進(jìn)一步廣泛的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】閉區(qū)間套定理；條件；等價(jià)命題；二等分法

引言閉區(qū)間套定理本身是由一個(gè)閉區(qū)間套{In}確定的唯一的點(diǎn)ξ∈∩∞1n=1In.粗略地說，如果一切In都具有某種共同性質(zhì)P，則由于ξ的任意性有In（n≥k），所以ξ的局部具有性質(zhì)P，簡(jiǎn)單地說這個(gè)定理可以把整體性質(zhì)收縮到局部——某點(diǎn)的鄰域，利用閉區(qū)間套定理證明問題時(shí)要注意這一點(diǎn).閉區(qū)間套定理的幾何意義：有一列閉線段（兩個(gè)端點(diǎn)也屬于此線段）后者被包含在前者之中，并且由這些閉線段的長(zhǎng)構(gòu)成的數(shù)列以0為極限，則這一列閉線段存在唯一一個(gè)公共點(diǎn).

一、介紹閉區(qū)間套定義及閉區(qū)間套定理

定義1設(shè)閉區(qū)間列{（an，bn）}具有如下的性質(zhì)：①{（an，bn）}[an+1，bn+1]，n=1，2， …；

②lim（bn-an）=0，則稱{（an，bn）}為閉區(qū)間套，或簡(jiǎn)稱區(qū)間套.

定理（1）（閉區(qū)間套定理）若{（an，bn）}是一個(gè)區(qū)間套，則在實(shí)數(shù)系中存在唯一點(diǎn)ξ，使得ξ∈（an，bn），n=1，2， …，即an≤ξ≤bn，n=1，2， …，且limn→∞an=limn→∞bn=ξ.

閉區(qū)間套定理成立的條件：一般來說將閉區(qū)間換成開區(qū)間列，區(qū)間套不一定成立.

例如，開區(qū)間列0，11n顯然滿足：1）（0，1）0，112…0，11n…；2）limn→∞11n-0=0，但是不存在數(shù)l屬于任意一個(gè)開區(qū)間.

二、舉例說明閉區(qū)間套定理的應(yīng)用

1.與閉區(qū)間套定理等價(jià)的五個(gè)定理

①聚點(diǎn)定理：實(shí)軸上任意有界無限點(diǎn)集S至少有一個(gè)聚點(diǎn).

②有限覆蓋定理：設(shè)H為閉區(qū)間[a，b]的一個(gè)（無限）開覆蓋，則從H中可選出有限個(gè)開區(qū)間來覆蓋[a，b].

③確界原理：設(shè)S為非空數(shù)集，若S有上（下）界，則有S上（下）確界.

④單調(diào)有界定理：在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.

⑤柯西收斂準(zhǔn)則：數(shù)列{an}收斂的充要條件是：對(duì)任給的ε>0，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)m，n>N有an-am<ε.

2.利用閉區(qū)間套定理證明以上五個(gè)定理中的兩個(gè)定理

（1）用閉區(qū)間套定理證明聚點(diǎn)定理

證明S為有界點(diǎn)集，故存在M>0，使得S[-M，M]，記[a1，b1]=[-M，M].

現(xiàn)將[a1，b1]等分為兩個(gè)區(qū)間.因S為無限點(diǎn)集，故兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)含有S中無窮多個(gè)點(diǎn)，記此子區(qū)間，為[a2，b2]，則[a1，b1][a2，b2]且 b2-a2=112（b1-a1）=M.

將[a2，b2]等分為兩個(gè)區(qū)間.則其中至少有一個(gè)子區(qū)間含有S中無窮多個(gè)點(diǎn)，取出這樣的一個(gè)子區(qū)間，記為[a3，b3]，則[a2，b2][a3，b3]，且b3-a3=112（b2-a2）=112M.

將此等分子區(qū)間的連續(xù)無限地進(jìn)行下去，得到一個(gè)閉區(qū)間列{（an，bn）}，滿足{[an，bn]}[an+1，bn+1]，n=1，2，…，bn-an=M12n-1（n→∞）.即{（an，bn）}是閉區(qū)間套，且其中每一個(gè)區(qū)間都含有S中無窮多個(gè)點(diǎn).由閉區(qū)間套定理，存在唯一的一點(diǎn)ξ∈（an，bn），對(duì)任給的ε>0，存在N>0，當(dāng)n>N時(shí)有an，bn∨（ξ，ε），從而∨ξ，ε內(nèi)含有S中無窮多個(gè)點(diǎn)，ξ為S的一個(gè)聚點(diǎn).

（2）用閉區(qū)間套定理證明柯西收斂準(zhǔn)則的充分性

證明對(duì)ε>0，N>0，使得m，n≥N時(shí)，有am-an≤ε.取m=N，又對(duì)任給的ε>0，當(dāng)N>0，使得對(duì)n≥N，有am-an≤ε，即在區(qū)間 aN-ε，aN+ε內(nèi)含有{an}中幾乎所有的項(xiàng).令ε=112，則存在N1，在區(qū)間[aN-112，aN+1+112]內(nèi)含有{an}中幾乎所有的項(xiàng).記該區(qū)間為a1，b1.再令ε=1122，則存在N2（>N1），在區(qū)間[aN-112，aN1+1122] 內(nèi)含有{an}中幾乎所有的項(xiàng)

記該區(qū)間為[a2，b2]=[aN1-1122，aN1+1122]∩[a1，b1]，也含有{an}中幾乎所有的項(xiàng)，且滿足a1，b1[a2，b2]及b2-a2≤112.依次繼續(xù)令ε=1123，…，112n，得一閉區(qū)間{（an，bn）}，其中每個(gè)區(qū)間都含有{an}中幾乎所有的項(xiàng)，且滿足：[an，bn][an+1，bn+1]，n=1，2，…；bn-an≤112n-1→0（n→∞），即{（an，bn）}是閉區(qū)間套.由閉區(qū)間套定理，存在唯一一點(diǎn)ξ∈[an，bn]，（n=1，2，…）.

三、應(yīng)用閉區(qū)間套定理時(shí)注意的問題

一般來說，證明某定理時(shí)需要找到具有某種性質(zhì)的p的一個(gè)數(shù)，常常應(yīng)用閉區(qū)間套定理將這個(gè)數(shù)“套”出來.怎樣應(yīng)用閉區(qū)間套定理呢？首先構(gòu)造一個(gè)具有性質(zhì)p*的閉區(qū)間，性質(zhì)p*要根據(jù)性質(zhì)p來定；其次通常采用二等分法將此閉區(qū)間二等分，至少有一個(gè)閉區(qū)間具有性質(zhì)p*，然后繼續(xù)使用二等分法得到滿足閉區(qū)間套定理?xiàng)l件的和具有性質(zhì)p*的閉區(qū)間列.雖然二等分法在證明與閉區(qū)間套定理有關(guān)的題時(shí)很常用，但對(duì)于閉區(qū)間的構(gòu)造方法有多種，并不一定要用二等分法，所以我們?cè)跇?gòu)造閉區(qū)間列時(shí)要視具體情況而定，不能一味地運(yùn)用二等分法.

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