直線與一般圓錐曲線位置關系的判定

【摘要】在初中平面幾何學習中，判定直線與圓的位置關系時，大多是根據圓心到直線的距離與半徑的大小關系來確定直線與圓是相交、相切還是相離，那么對于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）與直線的位置關系判斷，是否也可以用類似的方法呢？經過類比、探索、驗證，得到以下結論.

【關鍵詞】 直線；圓錐曲線；位置關系

定理1設F1，F2是橢圓C：（x-m）21a2+（y-n）21b2=1（a>b>0）的兩個焦點，點F1，F2到直線L：Ax+By+C=0的距離分別為d1，d2，且F1，F2在L同側，則：（1）d1d2b2直線L與橢圓C相離.

證明（1）若A=0時，

F1為（m-c，n），F2為（m+c，n），

則d1=nB+C1B2，d2=nB+C1B2.

所以 d1d2=nB+C21B2.

對于方程組（x-m）21a2+（y-n）21b2=1，①

By+C=0.②

由②得y=-C1B.③

把③代入①得b2x2-2b2mx+b2n+a2C21B2+2a2Cn1B+a2n2-a2b2=0.

直線與橢圓相切，由其Δ>0，

整理得 B2b2>Bn+C2.

所以d1d2=nB+C21B2

若A≠0時，

F1為（m-c，n），F2為（m+c，n），則

d1=|（m-c）A+nB+C|1A2+B2，

d2=|（m+c）A+nB+C|1A2+B2.

所以d1d2=（m-c）A+nB+C（m+c）A+nB+C1A2+B2=

Am+Bn+C2-c2A21A2+B2.

由其Δ>0 整理得 A2a2+B2b2>Am+Bn+C2.

所以d1d2=Am+Bn+C2-c2A21A2+B2

同理可證：

（2）d1d2=b2直線L與橢圓C相切；

（2）d1d2>b2直線L與橢圓C相離.

定理2設F1，F2是雙曲線C：（x-m）21a2-（y-n）21b2=1的兩個焦點，點F1，F2到直線L：Ax+By+C=0的距離分別為d1，d2，且F1，F2在L的兩側，則：（1）d1d2b2直線與雙曲線C相離.（證明方法與定理1相同）

定理3設拋物線C：（y-n）2=2P（x-m）（P>0）的對稱軸上有兩點F1（m，n），F2（P+m，n），直線L：Ax+By+C=0，F1，F2到直線L的距離分別為d1，d2，F1，F2在L同側，則：（1）直線L與拋物線C相交的充要條件是d22-d21P2.（證明方法與定理1相同）

例1已知直線L：5x-3y-13=0，橢圓C：x216+y215=1，試判定直線L與橢圓C的位置關系.

解a2=6，b2=5，c2=1，F1（-1，0），F2（1，0），

d1d2=132-52×12152+32=72117

所以直線L與橢圓C相交.

例2設直線Lx=t

y=b+mt（t為參數），橢圓Cx=1+acosθ

y=sinθ（θ為參數，|a|≠1，a≠0常數），試問：當a，b滿足什么條件時對于任意的實數m，L與C總有公共點？

解直線L化為：mx-y+b=0