數學問題有機整合的個案分析

【摘要】通過對最速降線問題解的過程的分析，將數學中分析的、幾何的、代數的基本概念和基本方法有機地整合在一起.通過這種由淺入深、承上啟下的教學方法，無疑會對提高學生學習數學的興趣產生積極的作用.

【關鍵詞】最速降線；分析；代數

課題：遵義師院教研課題“‘初等數論’指導高中專題‘初等數論初步’教學研究”編號：11-22

最速降線問題是由約翰·伯努利兄弟、牛頓、洛必達等人加以解決的一個極值問題＼[1＼]，屬變分學范疇.

最速降線是這樣一條曲線，當質點沿著不在同一鉛垂線上的兩點的連線下滑時，所用時間最少的那條曲線即是最速降線，也叫旋輪線，這條曲線不是直線也不是圓弧.

如圖所示，設質點在重力作用下沿一條曲線由A點無摩擦和空氣阻力地向不在同一垂線上的更低點B滑動，在沒有其他力的影響下，沿什么曲線下滑能使所需時間最少？

根據能量守恒原理，質點在某高度處速度完全由它到達該高度時所損失的位能確定，而與所經路線無關.設質點無能運動速度v=2gy，其中g是重力加速度，y是所求曲線，它是定義在[a，b]上的連續函數，由于v=ds1dt，所以dt=ds1v，若質點在M處開始下滑，此時設初速度為零，那么它在A處速度為va=2g（y（a）-d），而在任何一點處的速度為v=2g（y（x）-d），但另一方面ds=1+（y′（x））2dx，于是由A到B滑動時所需要的時間為J=∫ba1+（y′（x））212g（y（x）-d）dx.

于是最速降線問題變為要找一個定義在[a，b]區間上的連續函數，使上面的積分取最小值＼[2＼].

設想質點能選擇下滑路線，并能像光那樣使自己滑行時間最短，且下滑速度應由慢變快.由圖中幾何關系知：

sinα=cosβ=11secβ=111+tan2β=111+（y′）2.

由于 sinα1v=常數C，因而sinα1v=111+y′212gy=常數C，y（1+（y′）2）=C，這即是最速下降線的方程，它是圓滾線：x=e（θ-sinθ），y=e（θ-cosθ），其中e是常數，θ是參數.因此，最速降線也叫旋輪線或圓滾線.

下滑所需時間J與所沿的滑動曲線有關，可把J看作是曲線的函數，即J看作是定義在[a，b]上的函數y（x）的函數，記作J（y），由于定義在[a，b]上的函數有無窮多個，我們設想它們是某個“空間”中的“點”，并且對此空間定義“點”的“鄰域”和點列的極限，引進J（y）的連續等概念，使之成為拓撲空間.于是就可用幾何（拓撲學）的方法來處理.

如果把這些曲線看作元素，在所有這些元素組成的集合上引入類似于數的運算，即在這些元素之間引進“加法”、“減法”等運算，便可考慮此集合的代數結構，使之成為線性空間，從而可用代數的方法來處理.

當我們在這個集合上引入類似于直線上兩點間的距離時，使之成為度量（距離）空間.于是我們又可用分析（或泛函）的方法來處理.

回到上述最速降線問題，設X表示[a，b]區間上的所有連續函數全體組成的集合，用x（t），y（t）表示X中的點，引入距離＼[3＼]如下，令ρ（x，y）=maxtx（t）-y（t），顯然，ρ（x，y）≥0且ρ（x，y）=0僅當x（t）≡y（t）以及ρ（x，y）=ρ（x，y），ρ（x，z）=maxtx（t）-z（t）≤ρ（x，y）+ρ（y，z）（z∈R），

即ρ（x，y）=maxtx（t）-y（t）滿足度量空間的三角公理.而具有上述距離的[a，b]上的所有連續函數的集合稱為連續空間，用C[a，b]代表，于是[a，b]上的一切連續函數的集X在上述距離下便構成一個度量空間，記作C[a，b].

我們在X上定義加法和數乘如下：對任意的x，y∈X和常數a，定義加法為（x+y）（t）=x（t）+y（t），定義數乘為（ax）（t）=ax（t）.則不難驗證X成為一個線性空間.

對任意的x∈X，定義‖x‖=max|x（t）|容易驗證‖x‖為X上的一個范數，因此X為賦范線性空間，用[X；‖·‖]表示.在賦范線性空間中可引進距離，若設x1，x2∈X，定義d（x1，x2）=‖x1-x2‖，則同樣容易驗證d（x1，x2）為[X；‖·‖]上的距離函數，此時X又同時是距離空間.于是，在賦范線性空間X中，便可定義以x0為中心，ρ為半徑，當‖x-x0‖≤ρ時為閉球，當‖x-x0‖>ρ時為開球，于是數學分析中的許多概念和方法就可運用于其中了.

積分算子：J=∫ba1+（y′（x））212g（y（x）-d）dx是對定義在[a，b]上的函數y（x），經過在[a，b]上積分的運算而變成另一個函數（或數）J，我們稱為算子（或泛函）.這種算子（或泛函）在應用數學中經常遇到.例如拉普拉斯變換、福里哀變換等.按照這種方法，我們的問題就變成求解上述積分算子在[a，b]區間上的連續空間C[a，b]上泛函的最小極值.

由上可見，這個問題其實是作用在一個函數上已產生的函數（或者數），在這一函數中找出一個使積分取最大值或最小值的函數，數學中許多領域處理的就是作用在函數上的變換或算子，所有這些算子都可以在作用于一類函數上的算子的一種抽象形式下加以研究，于是，這類問題可以這樣考察，把一些函數的集合看作“空間”，而把函數本身看作這種空間中的點或元素，這樣，算子就把點變成點.在這些元素之間引進運算，就可考慮此集合的代數結構，還可以在這個空間中考慮兩點間的距離，引入“距離”以及其他概念，由此，幾何的、代數的、分析的基本概念和方法就能有機地融合在一起了.

隨著分析的深入，把這些概念和方法幾何化，不同類型的函數可看成函數空間的點或矢量，由此引出距離空間、賦范線性空間等.引進抽象空間以后，分析上的許多問題就可以用幾何的語言來解釋，這樣就在分析中找到了新的幾何方法，同時隨著幾何概念的推廣也產生了對代數概念的推廣.

【參考文獻】

＼[1＼]＼[美＼]M.克萊因.古今數學思想（第二卷）＼[M＼].上海：上海科學技術出版社，1979，323-324.

＼[2＼]李哲巖，張永曙.變分法及其應用＼[M＼].西安：西北工業大學出版社，1989，1-2.

＼[3＼]＼[蘇＼]Л.A.劉斯鐵爾尼克，B.И.索伯列夫.泛函分析概要＼[M＼].北京：科學出版社，1985，60-64.