應該怎樣解釋多元函數(shù)的微分關系

【摘要】利用加法原理和乘法原理，深刻而準確地解釋了多元函數(shù)求微分的復雜關系，并舉例說明這種解釋在考研數(shù)學中的應用.

【關鍵詞】加法原理；乘法原理；微分定理

【中圖分類號】O172.1

1.兩個原理

加法原理設完成一件事有k種不同方式，只要選擇任何一類方式中的一種方法，這件事就可以完成.如果已知其中第一類方式有n1種方法，第二類方式有n2種方法……第k類方式有nk種方法，并且這n1+n2+…+nk種方法中的任何兩種方法均不相同，則完成這、件事共有N=n1+n2+…+nk種不同方法.

乘法原理如果完成一件事，必須經(jīng)過k個步驟，而完成第一步有n1種不同方法，完成第二步有n2種不同方法………完成第k步有nk種不同方法，則完成這件事共有N=n1n2…nk種不同方法.

為了方便，本文將加法原理簡述為分類則加，乘法原理簡述為分步則乘.

2.微分定理

定理若u=u（x，y），v=v（x，y），w=w（x，y）在點（x，y）均可微，而z=f（u，v，w）在對應點（u，v，w）處可微，則復合函數(shù)z=f[u（x，y），v（x，y），w（x，y）]在點（x，y）也可微，且其全微分為dz=z1xdx+z1ydy，其中

z1x=z1u·u1x+z1v·v1x+z1w·w1x，

z1y=z1u·u1y+z1v·v1y+z1w·w1y.

此定理的證明本文從略.

3.具體解釋

圖1依定理條件，如圖1所示，以下只解釋z1x表達式的來歷.

因完成從z到x這件事有三類不同方式（第一類是從z經(jīng)u到x，第二類是從z經(jīng)v到x，第三類是從z經(jīng)w到x），根據(jù)分類則加，所以z1x的表達式應該是三項相加；又因在第一類方式中，完成從z到x這件事，必須經(jīng)過兩個步驟（第一步是從z到u，第二步是從u到x），根據(jù)分步則乘，所以z1x表達式中的第一項應該是z1u乘以u1x，同理第二項應該是z1v乘以v1x，第三項應該是z1w乘以w1x.

4.應用舉例

圖2例1設z=x3fxy，y1x，f具有連續(xù)二階偏導數(shù)，求2z1xy.

解依題意，設u=xy，v=y1x，則z=x3f（u，v），如圖2所示.

z1y=x3z1u·u1y+z1v·v1y

=x3xf′1+11xf′2

=x4f′1+x2f′2，

2z1xy=1xz1y=1xx4f′1+x2f′2

=4x3f′1+x4f″11·u1x+f″12·v1x+2xf′2+x2f″21·u1x+f″22·v1x

=4x3f′1+2xf′2+x4yf″11-y1x2f″12+x2yf″21-y1x2f″22

=4x3f′1+2xf′2+x4yf″11-x2yf″12+x2yf″21-yf″22

=4x3f′1+2xf′2+x4yf″11-yf″22.

例2設z=zt，t=fxy，x2+y2，f具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，求2z1x2.

解依題意，設u=xy，v=x2+y2，則t=f（u，v），如圖3所示.

圖3z1x=dz1dt·t1x

=z′tt1u·u1x+t1v·v1x

=z′t（yf′1+2xf′2），

2z1x2=1xz1x=1x[z′t（yf′1+2xf′2）]

=z″tt·t1x（yf′1+2xf′2）+z′tyf″11·u1x+f″12·v1x+2f′2+2xf″21·u1x+f″22·v1x

=z″tt（yf′1+2xf′2）2+z′t[y（yf″11+2xf″12）+2f′2+2x（yf″21+2xf″22）]

=z″tt（yf′1+2xf′2）2+z′t（y2f″11+4xyf″12+4x2f″22+2f′2）.

【參考文獻】

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