素數的有效排除與素數沒有窮盡問題

【摘要】本文對除數（即合數的約數）及其作用進行了解讀，發現了作為除數的素數的有效排除作用與新生素數的量之間的因果關系，依據這個關系和遵循循序逐增的原理，創立了自然數的擴延范圍單位，從新生素數無窮多個的角度對素數沒有窮盡問題進行了證明，同時對杰波夫猜想作出了證明.

【關鍵詞】素數；有效排除作用；有效排除力；沒有窮盡

事實告訴我們，在沒有窮盡的素數中，偶素數于3起已窮盡，而沒有窮盡的是奇素數；在沒有窮盡的奇素數中，個位數為5的奇素數于6起已窮盡，而沒有窮盡的是個位數為1、3、7、9的奇素數.因此，對素數沒有窮盡的研究，實質是對奇素數沒有窮盡的研究，是對素數中“窮盡”和“不可窮盡”現象的研究.本人只是素數研究的一位興趣者，故本文是拋磚引玉之作.

一、關于除數的不同作用和分類

這里說的除數，是指自然數中合數的約數.合數的約數均可為合數的除數.合數成為非素數，是因為可被大于1的其他自然數整除而排除出素數之外.但這些除數在將合數排除出素數之外的過程中起到的作用是不同的.以合數60為例，除1和60外，其可被2、3、4、5、6、10、12、15、20、30共10個數整除.在此10個除數中，2是將60排除出素數的首位除數，才是起到有效排除作用的除數，3與5是于2之后將60重復排除出素數的除數，為重復排除的除數，而4、6、10、12、15、20、30此7個除數，雖對60可以整除，由于其本身也是可被2、3、5整除的合數，因此，就將60排除出素數這點來說，實際上它們起到的是“零作用”，故為無關排除的除數.筆者根據除數起到的作用之不同，將除數分為三類：

之一，“有效排除的除數”，是指將某個自然數排除出素數之外的除數中依序排在首位的非合數除數.

之二，“重復排除的除數”，是依序排在首位除數之后的非合數除數.

之三，“無關排除的除數”，是指除數中的合數.

之一、之二的除數均為素數，之三的除數為合數.

對除數作如此分類，其意義于前文已闡述，不再贅言.

二、關于素數的定義和分類

素數，是指在大于1的自然數中，除了1和此整數外，不能被其他自然數整除的數.這個定義是相對于合數而下的定義，并不是從表達素數與自然數之間的關系、素數與素數之間的關系來詮釋，因而容易給人造成這樣的誤讀：

以素數7為例，如依照該定義，7成為素數，是在于既不能被<7的各自然數（1除外）整除，也不能被>7的各自然數整除，與1、7之外的所有自然數都有關系.而筆者根據自己的研究成果認為，7成為素數，只是在于不能被素數2整除，僅與素數2有關系.

再以合數60為例，如依照該定義，60成為非素數，是在于可被2、3、4、5、6、10、12、15、20、30此10個自然數整除，與此10個數都有關系.而筆者認為，60成為非素數，是在于可被素數2整除，并將其排除出素數之外，僅與素數2有關系.基于此觀點，筆者對素數下的定義是：所謂素數，是指不能被小于等于該自然數平方根的素數整除的自然數.此定義雖有悖于定義的原則，但它是來自于事實證明的結論，旨在表達素數與自然數之間的關系、素數與素數之間的關系.

為使此定義具有可靠的正確性，須明確如下三個問題：

其一，1是特殊自然數.因為其既非素數也非合數.在素數產生的過程中，不應作為任何自然數的除數.

其二，2與3稱之為“原生素數”或“自然素數”.因為，2、3這兩個數的平方根處于小于1大于2之間，不存在經能否被其他素數整除這個驗證環節，是原本天生的素數.

其三，依序排在2、3之后的素數稱之為“新生素數”或“非原生素數”.因為，它們均要經能否被2、3以及其他素數整除這個驗證環節，相對于2、3來說，是屬于新產生的素數.

簡言之，以產生條件來區分，素數只分為原生素數和新生素數，原生素數和新生素數是素數整體中產生條件不同的兩個部分.

在明確并認可此三個問題后，可作定論：所有合數，均是因可被小于等于其平方根的素數整除而排除出素數之外的；所有成為新生素數的自然數，皆因沒能被小于等于其平方根的素數整除之緣故；素數將合數排除出素數之外，完全是排除“異己”行為，在此過程中，素數又把不能被自己整除的自然數作為新生素數迎進自己的“陣營”.

三、素數沒有窮盡的不可理解性及研究的有趣性

對素數的結構作分析，可發現，在沒有窮盡的素數中，除原生素數2是偶素數外，新生素數全為奇素數，不存在偶素數.而這正是偶素數2將大于2的偶數全部有效排除出素數之外的結果.還可發現，在沒有窮盡的奇素數中，除5外，個位數為5的奇數均為非素數.此是素數3和5將大于5、個位數為5的奇數全部有效排除出素數之外的結果.這兩種情形使筆者生發出對素數沒有窮盡問題的不可理解性.

不可理解一，1個偶素數2可做到將大于2的偶數全部有效排除出素數之外，使偶素數于3起已窮盡，而無數奇素數卻沒能做到將大于某個奇數（哪怕是高位奇數）的奇數全部有效排除出素數之外，使奇素數于該奇數起已窮盡，進而使素數也隨之窮盡.這是為什么？

不可理解二，3和5兩奇素數可做到將6起個位數為5的奇數全部有效排除出素數之外，使個位數為5的奇素數于6起已窮盡，而11起的無數奇素數卻沒能做到將個位數為1、3、7、9其中之一的奇數于某個高位奇數起全部有效排除出素數之外，使之窮盡.這是為什么？

不可理解三，如將素數排除的量記為n1p，那么，按照 “n1p1+n1p2+n1p3+…+n1pm”等式計算，在自然數36起，素數就應窮盡.因為，3612+3613+3615>36.可事實告訴我們，素數不但沒能在36起窮盡，甚至于36003600之后都不可能窮盡.這是為什么？

上述三個問題，正是素數沒有窮盡問題的不可理解性，同時又是素數沒有窮盡問題研究的有趣性.

事實上，素數之所以不可窮盡，其原因就在于素數將合數排除出素數之外的過程中，并非是全部為真正意義上的有效排除，這當中還存在重復排除.正是重復排除的存在，使得素數有效排除力大打折扣，使得素數有著不可窮盡的擴延空間.

四、素數的有效排除與素數沒有窮盡問題

定義1有效排除線是指一個素數作為除數，將被其整除的自然數有效排除出素數之外的起點線，亦是一個素數起到有效排除作用的起始自然數.

定義2素數有效排除力是指素數作為除數，將可被其整除的自然數排除出素數之外的實際能力.

為精簡篇幅，本文將“起到有效排除作用的素數”簡稱為“起效素數”， “擴延范圍”簡稱為“擴圍”.

1.素數的有效排除線

素數將被其整除的自然數排除出素數之外可分為有效排除和重復排除.那么，就具體到每個素數來說，其有效排除線該從哪個自然數算起呢？筆者根據“素數是指不能被小于等于該自然數平方根的素數整除的自然數”這一定義的規則，應用逆向思維方式，遵循自然數和素數循序逐增的原理，將素數的平方定為該素數的有效排除線，即為該素數起到有效排除作用的起始自然數.如素數2，其有效排除線從2的平方4算起；素數3，其有效排除線從3的平方9算起；素數5，其有效排除線從5的平方25算起，余此類推.

在此，需說清楚的，一個素數將被其整除的自然數有效排除出素數之外的起點線，雖是從其平方算起，但并非說，有效排除線起可被該素數整除的所有自然數都算作其有效排除，還得看該素數是不是依序排在除數中首位，如是方能算作其有效排除，否則算作其重復排除.如數45，可被素數3、5整除，3是依序排在除數中首位，5是第二位，因此，雖5的有效排除從25算起，但45被排除出素數之外，不能算作5的有效排除，應算作3的有效排除，算作5的重復排除.

在此，還需說清楚的，偶素數2是首位素數，故其只存在有效排除，不存在重復排除.奇素數3是首位奇素數，故此對可被其整除的奇數，只存在有效排除，不存在重復排除，相反，對可被其整除的偶數只存在重復排除，卻不存在有效排除.所有新生素數，對可被其整除的自然數，均有有效排除和重復排除之分.

素數的有效排除線有著三個作用，一是對此線前的所剩留的自然數就是素數的認定，二是標志著1個素數于此線起要發揮有效排除作用，三是合理設置自然數擴圍單位的重要依據.

2.對素數沒有窮盡問題的證明

早在兩千年前數學家歐幾里得對素數沒有窮盡問題已作出了證明.其證明定理為：K=2×3×5×7×11×…×（n+1）.

筆者認為，歐幾里德的證明，只是從不斷產生新的、具體的素數數來證明的.而筆者對素數沒有窮盡問題的證明，則是置于素數的有效排除這一環境，從素數的有效排除力和起效素數的數與新生素數的量兩者因果關系，從新生素數的量有無窮多個來證明的.

（1）素數的有效排除力與素數沒有窮盡問題

素數的有效排除力，可分單個素數的有效排除力和整體素數的有效排除力.從理論上說，單個素數的有效排除力的計算方法應是：該素數的應有排除自然數的量-重復排除自然數的量=實際排除量.但在實踐中不好操作.筆者發現了簡單又科學的計算方法，即：應用循序逐增原理，設定每個起效素數的自然數擴圍單位（以起效素數依序連乘之積為擴圍單位的自然數的量），然后驗證每擴圍單位被該起效素數有效排除的自然數的量，擴圍單位的自然數的量與被該起效素數有效排除的自然數的量的比率，就是該起效素數的有效排除力.整體素數的有效排除力，即是單個素數有效排除力相加總和.