魔方復(fù)原的最少轉(zhuǎn)數(shù)研究

【摘要】魔術(shù)方塊（又稱魔方）是近代最具知名度全球性風(fēng)行的益智玩具，從1980年在美國(guó)大量生產(chǎn)后風(fēng)靡了全世界，使許多玩家對(duì)之著迷且鉆研其中，在學(xué)術(shù)上也吸引了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的很多學(xué)者投入魔方復(fù)原的研究.本文研究了魔方復(fù)原的幾種傳統(tǒng)方法，在此基礎(chǔ)上分析了達(dá)到最少轉(zhuǎn)數(shù)的方法.

【關(guān)鍵詞】魔方；復(fù)原；最少轉(zhuǎn)數(shù)

【摘要】魔術(shù)方塊（又稱魔方）是近代最具知名度全球性風(fēng)行的益智玩具，從1980年在美國(guó)大量生產(chǎn)后風(fēng)靡了全世界，使許多玩家對(duì)之著迷且鉆研其中，在學(xué)術(shù)上也吸引了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的很多學(xué)者投入魔方復(fù)原的研究.本文研究了魔方復(fù)原的幾種傳統(tǒng)方法，在此基礎(chǔ)上分析了達(dá)到最少轉(zhuǎn)數(shù)的方法.

【關(guān)鍵詞】魔方；復(fù)原；最少轉(zhuǎn)數(shù)

益智型玩具又簡(jiǎn)稱為益智玩具，是一種會(huì)令人陷入思考的解謎玩具，根據(jù)每一種益智玩具的不同，玩的人需要具備不同的能力與知識(shí)，例如推理能力或觀察力等，有時(shí)簡(jiǎn)單的外觀卻需要某種特定的數(shù)學(xué)或物理知識(shí)才能解開，有時(shí)帶有思考陷阱的復(fù)雜外表，卻在一個(gè)觀念的轉(zhuǎn)換后變得容易解開.益智玩具除了使人玩了之后感到了愉悅，更加入了智力方面的元素，使人清楚了解一些在復(fù)雜事物中的觀點(diǎn)，以幫助腦細(xì)胞的成長(zhǎng)并增進(jìn)智慧，因此會(huì)玩益智玩具的人通常被認(rèn)為是個(gè)聰明的人.本研究鎖定近代益智玩具的經(jīng)典——“魔術(shù)方塊”作為本研究的主題，在參考網(wǎng)絡(luò)上的各種解法和實(shí)際學(xué)習(xí)與操作過后，發(fā)現(xiàn)魔術(shù)方塊并沒有想象中的困難，只要通過學(xué)習(xí)就可以達(dá)到一定程度的了解和成果.本文研究了魔方復(fù)原的幾種傳統(tǒng)方法，在此基礎(chǔ)上分析了達(dá)到最少轉(zhuǎn)數(shù)的方法.

一、魔術(shù)方塊

魔術(shù)方塊（Rubiks Cube）為匈牙利布達(dá)佩斯大學(xué)里的建筑設(shè)計(jì)教授Erno Rubik在1974年所發(fā)明之三立方單位之正立方體，其結(jié)構(gòu)由24個(gè)小方塊所組合而成的，且每一個(gè)面都可任意地旋轉(zhuǎn).魔術(shù)方塊有許多種外觀，除了常見的3立方單位之外，其后更發(fā)明了2立方單位、3 立方單位、4 立方單位、5 立方單位和其他形狀，每一種都有獨(dú)立的英文名字，如2 立方單位稱作Mini Cube，3 立方單位稱作Rubiks Cube，4 立方單位稱作Rubiks Revenge，5 立方單位稱作作Professor Cube等，翻譯成中文的話都稱做“魔術(shù)方塊”.

魔術(shù)方塊（又稱魔方）是近代最具知名度全球性風(fēng)行的益智玩具，從1980年在美國(guó)大量生產(chǎn)后風(fēng)靡了全世界，使許多玩家對(duì)之著迷且鉆研其中，在學(xué)術(shù)上也吸引了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的很多學(xué)者投入魔方復(fù)原的研究.但在幾年后熱潮減退甚至消失，取而代之的是一波波的電子玩具、數(shù)字游戲等熱潮.近年來已消失的魔術(shù)方塊熱潮有重新流行的趨勢(shì)，從2003 年開始包括臺(tái)灣在內(nèi)美國(guó)、日本等各國(guó)舉辦國(guó)內(nèi)比賽或世界大賽.這個(gè)熱潮朝向減少恢復(fù)魔術(shù)方塊轉(zhuǎn)數(shù)的方向發(fā)展.益智玩具是幫助人成長(zhǎng)的工具，不是目的.只有了解魔術(shù)方塊游戲本質(zhì)才能夠有意義地成長(zhǎng).

二、魔方復(fù)原方法

在魔方各種復(fù)原方法中，為了可以清楚地表達(dá)解法之步驟進(jìn)而發(fā)展出以下基本的符號(hào).其中魔術(shù)方塊分成三個(gè)部分，中心方塊（Center）、邊方塊（Edge）和角方塊（Corner）；由下到上分成三層（Layer）；六通面稱為頂面（Up，U）、底面（Down，D）、左面（Left，L）、右面（Right，R）、前面（Front，F(xiàn)）和后面（Back，B）.符號(hào)“U，D，L，R，F(xiàn)，B”代表面對(duì)該面的狀態(tài)下將該面作90°順時(shí)針之旋轉(zhuǎn).符號(hào)”U，D，L，R，F(xiàn)，B”代表面對(duì)該面的狀況下將該面作90°逆時(shí)針之旋轉(zhuǎn).符號(hào)“U2，D2，L2，R2，F(xiàn)2，B2”代表所指的該面作180°之旋轉(zhuǎn)并沒有方向的問題.除了基本符號(hào)外還有些特殊動(dòng)作之符號(hào)，但在各種解法中符號(hào)有所差別.

1.逐層的解法

該方法將魔術(shù)方塊分成三層，一層一層由下層復(fù)原至上層，是最多人用來設(shè)計(jì)復(fù)原魔術(shù)方塊解法的技法.此技法是最符合人類解決問題時(shí)的思考方式，也常被初學(xué)者入門時(shí)所學(xué)習(xí)，其邏輯經(jīng)過各個(gè)專家的詮釋與設(shè)計(jì)后，產(chǎn)生了在教學(xué)的步驟及公式上有些許不同的解法，但邏輯是相同的.

2.快速解法

快速解法又稱為Fridrichs 方法，發(fā)明人為紐約賓漢頓大學(xué)（Binghamton University）電子計(jì)算器工程系的教授Jessica Fridrich，它可以看作是逐層的解法的延伸， 是在“ 逐層的解法”中采用一次完成兩層的技法所衍伸出的一種方法，是最多魔術(shù)方塊高手所使用的方法，也是速度較快的方法.Jessica Fridrich 將復(fù)原魔術(shù)方塊的步驟分成四個(gè)步驟：Cross、First Two Layer、Orientation of Last Layer 及Permutation of Last Layer.在最后2 個(gè)復(fù)原的階段中，歸納出所有的可能性，并提出78 個(gè)公式以對(duì)應(yīng)到所歸納的可能性.

3.不用公式的解法

在目前所有的魔方復(fù)原算法文獻(xiàn)中，只有Frey Singmaster（1982）在Handbook of Cubik Math 一書中提出的解法，可以使之完全被理解且不用公式.魔術(shù)方塊要復(fù)原得快，不可避免地需要背下大量所謂的“公式”，因?yàn)橹挥刑坠讲拍軠p少思考的時(shí)間，速度才會(huì)快.但在游藝學(xué)的觀點(diǎn)中反而失去了玩魔術(shù)方塊的意義了.所以，完全理解且不用公式的解法方向也是魔方復(fù)原的主要方法之一.

三、最少轉(zhuǎn)數(shù)的魔方復(fù)原方法

魔術(shù)方塊除了造成全世界流行的風(fēng)潮之外，在1978 年魔術(shù)方塊首次踏入數(shù)學(xué)界，并在芬蘭首都赫爾辛基（Helsinki）的數(shù)學(xué)研討會(huì)上引起大量討論，從此造成了學(xué)術(shù)界爭(zhēng)相研究的主題.魔術(shù)方塊在許多觀念來說是一個(gè)很好的模擬模型，許多數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家以及計(jì)算機(jī)專家紛紛加入研究的行列.例如物理上的夸克（Quarks）模形、數(shù)學(xué)里的群論（Group theory）以及計(jì)算機(jī)領(lǐng)域中使用計(jì)算機(jī)解魔術(shù)方塊的算法以及機(jī)器人的應(yīng)用等.

目前，多數(shù)魔方愛好者都是采用“一層一層復(fù)原的技法”還原魔術(shù)方塊，但是如果要求還原速度快的話并不是一個(gè)好方法，因?yàn)樵趶?fù)原魔術(shù)方塊時(shí)都需100 步以上（90 度或180 度的轉(zhuǎn)動(dòng)）.為了要用最少的轉(zhuǎn)數(shù)迅速?gòu)?fù)原魔術(shù)方塊，我們可以在逐層的解法中“一次完成兩層的技法”所衍生出的一種方法，可以以平均60 步的旋轉(zhuǎn)將其復(fù)原，甚至可以將平均降至約45 步.此方法是最少步數(shù)解法中之一，是在比賽中非常有應(yīng)用潛力的一種方法.

這種方法的操作步驟如下：

1.將魔術(shù)方塊轉(zhuǎn)出一個(gè)2×2×2的小方塊.

2.延伸2×2× 2 的小方塊至2×2×3.

3.在此步驟定義出4 條規(guī)則分辨好和壞的邊方塊，并使圖中7 個(gè)邊方塊都轉(zhuǎn)成“好的邊”.

4.將2×2×3 延伸至2×3×3，也就是完成第一層和第二層的復(fù)原，同時(shí)第三層頂部的顏色會(huì)自動(dòng)轉(zhuǎn)成“十字狀”.

5.交換第三層角方塊的位置至正確位置.

6.恢復(fù)第三層頂層的顏色.

7.將第三層的邊方塊恢復(fù)至正確位置，即可完全恢復(fù)魔術(shù)方塊.

事實(shí)上，在上述步驟中，步驟5、6、7 步也是可以用“Fridrich Method”里的公式來完成的.

四、結(jié)論

現(xiàn)今科技發(fā)達(dá)的社會(huì)，數(shù)字游戲?yàn)榘l(fā)展的重心，許多電視、計(jì)算機(jī)的單機(jī)游戲及網(wǎng)絡(luò)游戲一一問世，而益智玩具也有許多新的發(fā)明，有的也經(jīng)過商業(yè)行為的包裝，但真正有價(jià)值及好玩的卻占少數(shù).魔術(shù)方塊對(duì)一般人而言似乎是一件門檻很高的玩具，其實(shí)不然，只要可以將其轉(zhuǎn)動(dòng)就可以進(jìn)行游玩，門檻低至連老人及小孩都可以操作，而挑戰(zhàn)空間高至只有專家才可以解決.從簡(jiǎn)單的色塊排列到藝術(shù)家所涉及的“像素藝術(shù)”，也都證明了魔術(shù)塊的發(fā)展?jié)撃芊浅５膹?qiáng).在經(jīng)過了學(xué)習(xí)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)及訪談后的改良，筆者提出以上結(jié)論及未來研究的方向.

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