數學建模在常微分方程建模中的應用

【摘要】根據事物的運動以及演變規律，探尋各元素之間的制約以及影響關系，用數學公式將其表達出來，并借助數學方法加以解決的過程被稱為數學建模.數學建模由于能夠有效解決多種實際問題，促進學生實踐能力以及應用能力提升，已經被廣大的師生所認可.在實際問題建模的過程中，常常會涉及常微分方程，所以，借助常微分方程理論，構建常微分模型是非常常見的，其已經成為了解決實際問題的重要工具.本文重點探索數學建模思想在常微分方程建模中的實際應用.

【關鍵詞】數學建模；常微分方程；實際應用

近年來，隨著教育教學改革的不斷深入，高校的教育目標逐漸由偏重于理論教學向實踐教學以及創新模式教學方向發展.教師更加注重學生實踐能力和創新能力的培養.數學建模是將實際問題與數學知識相聯系的重要橋梁，借助數學模型的構建，很多重要的實際應用問題被巧妙解決.例如：廠房分配問題、原材料運輸路線問題以及商場選址問題等.常微分方程建模便是數學建模思想運用的一個重要類型.本文重點探索數學建模思想在常微分方程建模中的應用.

一、常微分方程建模的主要方法

（一）根據實際問題包含的條件構建常微分方程模型

像氣象學、天文學這類實際問題中，常常存在一些隱含的等量關系，為構建常微分方程模型提供了必備的條件.例如：等角軌線，同已知曲線或者曲線族相交成給定角度的一條曲線.由此可知，等角軌線的切線同對應的曲線或者曲線族的切線形成了一個給定的角度.這一關系，便可以構建一個常微分方程.同時，這一條件還說明，等角軌線同曲線相交點的函數值是相等的，進而可以構建出有關等角軌線的柯西問題模型.

（二）借助基本定律或者公式構建常微分方程模型

類似于物理學中的牛頓第二運動定律、虎克定律以及傅里葉傳熱定律的一些基本定律、公式，高校學生并不陌生.而在掌握這些定律、定理的具體應用之后，便可以在解決實際問題時作為常微分方程建模的重要模型構建條件.其實，很多實際問題都可以借助這些定律構建數學模型，例如人口的增長問題、經濟學問題以及生物學問題等.

（三）借助導數定義構建常微分方程模型

導數是微積分中的一個重要概念，其定義表示為：

dy1dx=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）1Δx=limΔx→0Δy1Δx.

如果函數f（x）可微，則dy1dx在實際應用中可記為y相對于x點的瞬時變化率.這一含義可以在很多實際問題解決中加以運用.例如：常見的人口問題，人們在對人口進行統計的過程中，常常會計算人口的增長速率；在各類放射元素衰變過程中，常常需要計算出其具體的衰變率；在經濟問題中，也是常常會涉及一些“邊際問題”.類似的問題還有很多.可見，導數的定義在常微分方程建模中的應用十分廣泛.

（四）借助微元法構建常微分方程模型

在實際問題中，探尋微元之間的關系，并借助微元法構建微元關系式，進而構建數學模型.通常，在一個實際問題中，涉及的變量滿足以下條件時，便可以構建此類數學模型.

變量y是和自變量x在區間[a，b]內有關的量，y在區間[a，b]內有可加性，部分量Δyi≈f（ξi）.具體的構建過程包括：根據實際問題的具體情況，確定一個自變量x，并將其變化區間確定為[a，b]，在選定的區間[a，b]中選取一個任意的小區間[x，x+dx]，計算出該區間部分量Δyi.，將Δyi表示成為一個連續函數在x處的值f（x）與dx的乘積.即：Δyi≈f（x）dx，記f（x）dx=dy，其中，dy成為量y的微元.在等式兩邊同時積分，便可以得出變量y的值.這種方法被廣泛應用到多個實際應用領域.例如：空間解析幾何中曲線的弧長、旋轉曲面面積或體積等.在代數領域中，常常利用該方法解決流體混合問題.在物理方面，亦會借助該方法解決壓力、變力做功等問題.

（五） 模擬近似

當遇到一些較為復雜，并且其中隱含的規律并不清晰的實際問題時，常常會借助模擬近似法構建常微分方程模型.此類模型在建立的過程中，常常事先做一些合理的假設，凸顯所要研究的問題.由于建模過程中，涉及很多近似問題，所以要對所得解的有關性質進行分析，多與實際情況進行比較，確保建立的數學模型符合實際情況.

二、 常微分方程建模實例分析

（一）一階線性常微分方程模型中的打假模型構建

1.問題的提出

一直以來，打假問題是全社會共同關注的問題.隨著市場經濟體系以及法律、法規的逐步完善，假冒偽劣產品已經得到了有效的遏制，但是仍有很多的造假分子十分猖獗.為了有效地促進打假工作的順利進行，人們借助一階常微分方程模型的構建，對打假過程進行系統分析，并得出最優的實施方案.

2.模型假設

（1）假設時刻x，f（x）為x時刻假冒偽劣產品的數量，并假設f（x）為關于自變量x的連續函數.（2）假設某區域偽劣產品的制造者數量相對穩定.換句話就是在一定的時間內，偽劣產品的生產數量為常數a.（3）假設在一定的時間內，打假掉的產品的數量為固定數b.（4）假設在一定時間內，打假的產品數量同x時刻的假冒偽劣產品數量滿足正比例關系，即：kf（x），其中k為打假強度系數，該系數與打假資產成正比關系.（5）假設當x=0時，市場中假冒偽劣產品的數量為f0.

3.模型構建

根據微觀模型守恒定律，可以得出Δx時間間隔內，具備：

f（x+Δx）-f（x）=[a-b-k·f（x）]Δx.

令c=a-b，則有：

f（x+Δx）-f（x）=[c-k·f（x）]Δx.

等式兩邊同時除以Δx，則：

f（x+Δx）-f（x）1Δx=c-k·f（x）.

令Δx→0，便得出打假模型為：

df1dx=c-kf，

f0=f0.（1）

4.模型應用

（1）當c=0時，f（x）→0，即在單位時間內，偽劣假冒產品的生產數量和打假數量持平，社會中不存在假冒偽劣產品.

（2）當a>0，k→0時，ft→+∞，說明當對市場中的假冒偽劣產品放任不管時，存在于市場中的偽劣產品將嚴重破壞正常的市場秩序.

（3）這種變化過程同“生命周期”相類似.意思是說，在市場經濟初期，造假并不多見.隨著市場經濟的快速發展，造假活動日益猖獗.當市場經濟環境達到一定水平，這種問題將會得到有效遏制，最終歸向平衡.

（二）二階常微分方程建模中的追擊問題

1.問題提出

實際生活中，經常會遇到追擊問題.例如：動物世界中的老虎和羊，戰場上的子彈與目標以及生活中賽跑比賽等.

2.模型假設

（1）構建一個坐標系，假設馬從原點出發，并沿著y軸以速度a向前行進，老虎在（b，0）點出發，并以速度c追擊馬.

（2）老虎和馬在同一時刻發現對方，并開始追擊過程.

（3）追擊者和被追擊者的方向一致.

（4）老虎的速度方向不斷變化，其追擊路線可認為是一條光滑的曲線，設定為：f（x）.

（5）在t小時后，馬逃到了（0，at）處，老虎抵達（x，f（x））處.

3.模型構建

由導數的幾何意義可以得出：

df1dx=f-at1x.（2）

即：

xf′-f=-at.

分別對x兩邊求導，由已知ds1dt=v，以及弧微分公式ds=1+（f′）2dx，得出：

xf″=a1v1+（f′）2.

即老虎追馬的運動軌跡模型.

某些類型的跟蹤導彈對目標追擊的數學模型與上述老虎和馬追逃的數學模型相似，根據追擊者和被追擊者的距離以及被追擊者的逃亡范圍，通過調整速度即可追上.

三、結論

數學建模思想的龐大功效已經逐漸為人們所認可.常微分方程建模是一種常見的數學模型，其能夠有效解決多領域內的多種實際問題.本文僅從幾個方面進行分析，希望能夠對相關的研究工作者提供一些參考資料.

【參考文獻】

＼[1＼] 李明.將數學建模的思想融入高等數學的教學＼[D＼]. 首都師范大學，2009.

＼[2＼]湯宇峰.數學建模在供應鏈管理中的應用研究＼[D＼].清華大學，2008.

＼[3＼]朱鐵軍.數學建模思想融入解析幾何教學的實踐研究＼[D＼].東北師范大學，2009.

＼[4＼]倪興.常微分方程數值解法及其應用＼[D＼].中國科學技術大學，2010.

＼[5＼]勾立業.高等數學建模教育研究＼[D＼].吉林大學，2007.

＼[6＼]張宏偉.數學建模中的動態規劃問題＼[D＼].東北師范大學，2008.

＼[7＼]宋丹萍.在數學教學中滲透建模思想＼[J＼].科技資訊，2008（36）.

＼[8＼]于海濤.微分方程的應用＼[J＼].齊齊哈爾師范高等專科學校學報，2008（6）.

＼[9＼]蘇有慧，姜英姿.用數學建模教育活動推動高校數學教學改革＼[J＼]. 徐州教育學院學報，2008（3）.