“在”“過”之點論切線1“在”“過”之點論切線

【摘要】高中數(shù)學理科選修2-2第一章《導數(shù)及其應用》中提到導數(shù)的幾何意義，函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導數(shù)就是函數(shù)y=f（x）的圖像在點（x0，f（x0））處切線的斜率k，即：k=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx=f′（x0）.此知識點在各類考試中頻繁出現(xiàn)，題目中常常出現(xiàn)“在”或“過”這樣關鍵的字眼，解決的要點是把握住切點.在教學實踐中，很多學生忽視這一點，從而找不到解決問題的關鍵.

【關鍵詞】“在”；“過”；切線

筆者對利用導數(shù)求切線問題做了以下總結，可以極大提高解決此類問題的效率并避免出錯.利用“在”或“過”求曲線的切線方程，主要有以下三種類型：

一、“在”型，即已知切點求切線

例1已知函數(shù)y=xlnx，求這個函數(shù)的圖像在點x=1處的切線方程.

解析由題意可得（1，0）是切線的切點，所以切線的斜率就是函數(shù)在該點的導數(shù)，y′=lnx+1所以y′|x=1=1，利用點斜式直線方程為： y-0=x-1，即x-y-1=0 .

方法總結在點處的切線方程，先求該點處導數(shù)即為切線斜率，再由點斜式得出直線方程.

二、“過而不在”型，即過的點不是切點的切線

例2已知曲線f（x）=x3+11，求過點P（0，13）且與曲線相切的直線方程.

解析P（0，13）不在曲線上，所以該點不是切點，先設切點（x0，x03+11） ，由f′（x）=3x2得k=3x20，直線方程為：y-x30-11=3x20（x-x0），點P（0，13）在該直線上，所以13=-2x30+11得x0=-1，即切點為（-1，10），所以直線方程為3x-y+13=0.

方法總結先設切點，求出斜率，點斜式表示直線方程，再將過的點的坐標代入求出切點，確定直線方程.

三、“過而在”型，即點在曲線上過該點的切線方程

例3已知曲線f（x）=x3，求過點（1，1）且與曲線相切的直線方程.

解析點（1，1）是曲線f（x）=x3上的一點，所以該點可能是切點也可能不是切點.先設切點（x0，x30），解法同例2得y-x30=3x20（x-x0），將（1，1）代入得3x20-2x30-1=0，三次方程求根可通過因式分解，當（1，1）是切點時仍滿足題意，所以x0=1是它的一個根.原式可分解為（x0-1）·（-2x20+ax0+b）=0，展開可解得a=1，b=1，所以x0=1或x0=-112，代入y-x30=3x20（x-x0）得切線方程為：3x-y-2=0或3x-4y+1=0.

方法總結過曲線上的一點求切線，先設切點，點斜式表示直線方程，再將點的坐標代入，此方程因式分解，必有一根為已知點橫坐標，待定系數(shù)法確定另一解，得到切線方程.

以上三個例題有力地詮釋了利用導數(shù)求切線方程的理念，切點是關鍵，若明確切點，直接求，若不明確切點先設切點再代入.而通過圖像，數(shù)形結合，更直觀更形象地幫助我們理解這一問題.古人形容美得恰到好處：增之一分嫌長，減之一分嫌短.素之一忽嫌白，黛之一忽嫌黑.我們解決數(shù)學問題，也要由題意得到最準確的信息，書寫恰到好處的解題步驟，那么它也是由你一手創(chuàng)造出來的“美人”了.

為便于大家鞏固掌握，給出以下三個練習：

1.已知函數(shù)f（x）=ax3+b，其圖像在點P處的切線為l：y=4x-4，點P橫坐標為2（如圖）.求f（x）解析式.

2.求y=ex+x-1過點（1，0）的切線方程.

3.已知函數(shù)f（x）=x3-4x2+1，求過點（1，-2）且與曲線相切的直線方程.

參考答案：

1.f（x）=113x3+413.