試論APOS理論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用

【摘要】APOS理論下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)的作用.本文首先論述了APOS理論的四個階段，明確了教學(xué)的一般思維過程.其次是以函數(shù)為例具體分析了APOS理論的實(shí)踐應(yīng)用，提出了問題引導(dǎo)法、穩(wěn)步推進(jìn)法、體系構(gòu)建法等教學(xué)方法.

【關(guān)鍵詞】APOS理論；初中數(shù)學(xué)；教學(xué)；方法

我國的初中數(shù)學(xué)教育發(fā)展至今，已經(jīng)形成了相當(dāng)規(guī)模的教育體系，教育理念、教育手段更是日新月異.但在這樣的大背景下，我們的初中數(shù)學(xué)教育依然存在著一些無法突破的“瓶頸”，關(guān)于數(shù)學(xué)的基本概念、邏輯起點(diǎn)、方法論以及具體的解題思維等方面，學(xué)生仍無法擺脫傳統(tǒng)教育思維的束縛.因此，本文嘗試著從教學(xué)思想出發(fā)，借鑒APOS理論來探討初中數(shù)學(xué)教學(xué).

一、APOS理論概述

APOS理論是由美國教育學(xué)家杜賓斯基等人率先提出來的，作為一種建構(gòu)主義下的教學(xué)理念，它主要針對的是個體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論.這種理論認(rèn)為學(xué)生個體在接受數(shù)學(xué)教育時，一般會經(jīng)過四個階段，即操作、過程、對象以及圖式階段.

（一）操作階段的要點(diǎn)在于問題的設(shè)置，即通過與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相關(guān)問題的提出，以達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、促進(jìn)探索思維的目的.因此，問題的設(shè)置要緊扣教學(xué)內(nèi)容，形成邏輯上的“問題鏈”，由簡向難逐次推進(jìn)，將學(xué)生引入教學(xué)內(nèi)容的實(shí)質(zhì).這個階段的學(xué)生是以“主動”為主的，充分發(fā)揮了其自主探索“潛質(zhì)”.

（二）過程階段指的是個體將具體問題在大腦中內(nèi)化、壓縮成抽象思維，并通過這種思維來認(rèn)識、接受新知識.因此，這個過程就好像“問題將你引進(jìn)門，然后在此獨(dú)自修行”一樣，是一種“過程性”的學(xué)習(xí)與認(rèn)識.過程階段是處于“低位階”的操作階段向“高位階”的對象階段過渡的必經(jīng)階段，起著承前啟后的作用.

（三）對象階段是個體對于所學(xué)習(xí)、思考的內(nèi)容形成“整體認(rèn)知”的階段，正如有學(xué)者提出“由過程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)移，其基本意義就是為從更高的層次上進(jìn)行研究開拓了現(xiàn)實(shí)的可能性”.從過程到認(rèn)識的階段是逐次漸進(jìn)的過程，個體由形式的“知識表面”向理論的“知識實(shí)質(zhì)”過渡.在知識認(rèn)知的更高層面，個體行為由“被動”變?yōu)椤爸鲃印保庾R由“無意識”變?yōu)椤坝幸庾R”.

（四）圖式階段是個體消化、吸收知識后的“知識重構(gòu)”過程.皮亞杰認(rèn)為圖式的結(jié)構(gòu)是可變化的、動態(tài)的，是個體接受到外界刺激后的“自然反映”.當(dāng)然，有時這種反映個體是可以覺察到的，例如由一個知識點(diǎn)串聯(lián)起更多的知識點(diǎn).但在大多數(shù)的時間里，對于這種“潛移默化”的變化，個體是很難感覺到的，這也解釋了“學(xué)習(xí)為什么是一個長期性、曲折性的認(rèn)知過程”的問題.

根據(jù)上文對于APOS理論的分析，我們可以得知，在知識的整個認(rèn)知過程中，操作階段是起始點(diǎn)，過程階段是連接點(diǎn)，對象階段是關(guān)鍵點(diǎn)，圖式階段是落腳點(diǎn).認(rèn)知層次由下而上依次推進(jìn)，認(rèn)知程度也是由簡單向復(fù)雜過渡.但這個過程是充滿“刺激性”的，這對于“好奇心、探索欲”極強(qiáng)的初中學(xué)生來說是非常具有“誘惑力”的.

二、APOS理論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析

我們知道APOS理論的重要作用在于將所要學(xué)習(xí)的知識、內(nèi)容構(gòu)建成網(wǎng)絡(luò)化、格式化的信息體系.當(dāng)學(xué)習(xí)者從一個“問題端口”進(jìn)入該體系的時候，他所要面對的不是“孤立化”、“具體化”的知識，而是整個知識系統(tǒng).因而，在這種系統(tǒng)中，解題也會變得“游刃有余”.為了便于問題的說明，我們試著以“初中函數(shù)”為例來具體分析其應(yīng)用過程.

（一）操作階段——問題引導(dǎo)法

在APOS理論中，問題引導(dǎo)法的實(shí)質(zhì)在于對所要學(xué)習(xí)的知識及其解決模式提出疑問，并提供相應(yīng)的解決思路，讓學(xué)生在自學(xué)新知識的過程中學(xué)會運(yùn)用各種“證據(jù)”，以證明思路的正確性.具體的做法主要有：一是“任務(wù)性”問題設(shè)置，即教師在章節(jié)內(nèi)容教學(xué)完成后，針對下一章節(jié)的學(xué)習(xí)提出問題，并要求學(xué)生完成；二是“啟發(fā)式”的問題設(shè)置，即在課堂教學(xué)的過程中，提出一系列的問題，形成“問題鏈”，然后引導(dǎo)學(xué)生逐次解決問題.前一個問題一般是后一個問題的前提條件或者是必經(jīng)過程，因而此種設(shè)置具有“啟發(fā)性”，啟示學(xué)生自己思考來完成.例如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程在其外在形式、探索思路、解題過程上具有“類似性”，因而我們在教學(xué)的時候，應(yīng)盡量打破教材編排的固有體例，啟發(fā)學(xué)生將一種方程形式的探索思路“復(fù)制”到其他方程上，分析其中的異同點(diǎn).

（二）過程、對象階段——穩(wěn)步推進(jìn)法

在問題階段將我們引進(jìn)后，就開始進(jìn)入穩(wěn)步推進(jìn)的過程，也是知識內(nèi)容由簡到難，層次由低到高的過程.學(xué)生在將新知識消化、吸收到頭腦中后，就開始進(jìn)行縝密的思維分析，從函數(shù)的“形式表面”逐步向“實(shí)質(zhì)內(nèi)容”深入，知道函數(shù)的實(shí)質(zhì)在于兩個變量x與y之間是唯一對應(yīng)的.在此認(rèn)知的基礎(chǔ)上，我們就可以對后學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“可預(yù)見性”的推導(dǎo)了.在初中函數(shù)部分中，除了上述方程以外，還有一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、sinθ（正弦）、cosθ（余弦）、tanθ（正切）、cotθ（余切）等.這些內(nèi)容具有實(shí)質(zhì)上的一致性，既可以相互推導(dǎo)（例如方程之間），也可以相互轉(zhuǎn)化（例如三角函數(shù)中的部分內(nèi)容）.當(dāng)然，這些內(nèi)容雖然都屬于“函數(shù)家族”，但對于學(xué)生來說，推導(dǎo)出來的卻是“陌生的知識”，這對于增強(qiáng)學(xué)生的自信心有巨大的推動力.

三、圖式階段——體系構(gòu)建法

圖式階段是對于所學(xué)知識體系的重構(gòu)，是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的過程.傳統(tǒng)教學(xué)方式將學(xué)生束縛在解題過程的具體思維模式里，禁錮了其數(shù)學(xué)邏輯思維的開發(fā).而APOS理論則強(qiáng)調(diào)的是數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，這與現(xiàn)代素質(zhì)教育“不謀而合”.再加上在哲學(xué)方法論看來，函數(shù)思維具有“聯(lián)系、變化、規(guī)律性”三大特征，因而在教學(xué)中我們要盡力實(shí)現(xiàn)“生活數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)思維化”.例如在一段限速50 km/h以內(nèi)的區(qū)段內(nèi)，有甲、乙兩車相向而行，由于兩車行駛速度過快，即使在同時剎車的情況下兩車還是相撞了.事后測出甲車的剎車距離為14 m，乙車的剎車距離大于10 m且小于20 m.試問甲、乙兩車誰超速了？關(guān)于這一問題，學(xué)生們就應(yīng)該應(yīng)用“數(shù)學(xué)思維”來解答，當(dāng)然基礎(chǔ)還在于頭腦中已形成了相應(yīng)的知識體系.首先要明確甲、乙兩車停車所使用的時間t（甲）=t（乙）；其次要清楚兩車在停車的過程中速度v是在不斷減少的，直到v=0；最后利用s=vt列出方程，很快就能算到答案，找到兩車相撞的原因了.