三角函數復習專題：專題一、三角函數的圖像和性質

一、考點歸納

1. 能畫出y=sinx，y=cosx，y=tanx的圖像， 了解三角函數的周期性；

2. 理解正弦函數、余弦函數在[0，2]，正切函數在（-，）上的性質（如單調性、最大值和最小值、圖像與x軸交點等）；

3. 結合具體實例，了解y=Asin（ x+ ）的實際意義；能畫出y=Asin（ x+ ）的圖像，了解參數A， ， 對函數圖像變化的影響；

4. 會用三角函數解決一些實際問題.

二、知識點精講

1. 正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像.

2. 三角函數的單調區間：

y=sinx的遞增區間是[2k-，2k+]（k∈Z），遞減區間是[2k+，2k+]（k∈Z）；

y=cosx的遞增區間是[2k-，2k]（k∈Z），遞減區間是[2k，2k+]（k∈Z）；

y=tanx的遞增區間是（k-，k+）（k∈Z）.

3. 函數y=Asin（ x+ ）+B（其中A>0， >0）.

最大值是A+B，最小值是B-A，周期是T=，頻率是f=，相位是 x+ ，初相是 ；其圖像的對稱軸是直線 x+ =k+（k∈Z），凡是該圖像與直線y=B的交點都是該圖像的對稱中心.

4. 由y=sinx的圖像變換出y=sin（ x+ ）的圖像一般有兩個途徑，只有區別開這兩個途徑， 才能靈活進行圖像變換.

利用圖像的變換作圖像時，提倡先平移后伸縮， 但先伸縮后平移也經常出現. 無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖像變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少.

途徑一：先平移變換再周期變換（伸縮變換）.

先將y=sinx的圖像向左（ >0）或向右（ <0）平移| |個單位，再將圖像上各點的橫坐標變為原來的倍（ >0），便得y=sin（ x+ ）的圖像.

途徑二：先周期變換（伸縮變換）再平移變換.

先將y=sinx的圖像上各點的橫坐標變為原來的倍（ >0），再沿x軸向左（ >0）或向右（ <0）平移個單位，便得y=sin（ x+ ）的圖像.

5. 由y=Asin（ x+ ）的圖像求其函數式.

給出圖像確定解析式y=Asin（ x+ ）的題型，簡

單的方法是從圖像的升降情況尋找y=Asin（ x+ ）的某

點對應y=sinx的“五點”中的對應點，要找準.

6. 對稱軸與對稱中心.

y=sinx的對稱軸為x=k+，對稱中心為（k，0）k∈Z；

y=cosx的對稱軸為x=k，對稱中心為（k+，0）k∈Z；

對于y=Asin（ x+ ）和y=Acos（ x+ ）來說，對稱中心與零點相聯系，對稱軸與最值點聯系.

7. 求三角函數的單調區間：一般先將函數式化為基本三角函數的標準式，要特別注意A、 的正負，利用單調性研究三角函數大小一般要化為同名函數，并且在同一單調區間.

8. 求三角函數的周期的常用方法：

經過恒等變形化成“y=Asin（ x+ ）、y=Acos（ x+ ）”的形式，再利用周期公式，另外還有圖像法和定義法.

9. 五點法作y=Asin（ x+ ）的簡圖：

五點取法是設X= x+ ，由x取0、、、、2來求相應的X值及對應的y值， 再描點作圖.

10. 三角函數題書寫要規范，分步解答，很多考生不注意書寫，導致高考失分嚴重，令人遺憾.

三、例題精選及評析

1. 將函數y=sin（2x+ ）的圖像沿x軸向左平移個單位后，得到一個偶函數的圖像，則 的一個可能取值為（ ）

A. B. C. 0 D. -

解析：將函數y=sin（2x+ ）的圖像沿x軸向左平移個單位， 得到y=sin[2（x+）+ ]，即y=sin（2x++ ），要使y=sin（2x++ ）為偶函數， 則+ =k+（k∈Z）， =k+（k∈Z），選B.

評析：y=sin（2x++ ）要為偶函數，化簡后應為y=±cos2x，所以+ 應為的奇數倍.

2. 函數y=xcosx+sinx的圖像大致為（ ）

解析：函數y=xcosx+sinx為奇函數，排除B，再考慮特殊點. x=時，y=-<0，排除A，再考慮C，D. 再考慮x為一個很小的正數時，y>0. 所以選D.

評析：高考關于三角函數圖像的考察有時會出現一個非常規函數，這時主要思考的方向是考慮函數的性質， 有時結合特殊點進行排查.

3. 函數f（x）=2sin（ x+ ），（ >0，-< <）的部分圖像如圖所示， 則 ， 的值分別是（ ）

A. 2，- B. 2，- C. 4，- D. 4，

解析：由圖知：T=-（-），T==， =2由五點作圖知點B對應y=sinx的“五點”的第二點， 則×2+ =， =-，選A.

評析：由圖觀察知， B點對應y=sinx的“五點”的第二點， 故有× + =.

4. 已知函數f（x）=sin（ x+ ）（ >0，0< <）的周期為，圖像的一個對稱中心為（，0），將函數f（x）圖像上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數g（x）的圖像，求函數f（x）與g（x）的解析式.

解析：由函數f（x）=sin（ x+ ）的周期為， >0，得 =2. 又曲線y=f（x）的一個對稱中心為（，0）， ∈（0，），故f（）=sin（2×+ ）=0，得 =，所以f（x）=cos2x. 將函數f（x）圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）后可得y=cosx的圖像，再將y=cosx的圖像向右平移個單位長度后得到函數g（x）=sinx.

評析：已知f（x）=sin（ x+ ）（ >0，0< <）圖像的一個對稱中心為（，0），則得到f（）=0.

5. 已知函數f（x）=2sin（ x），其中常數 >0；

（1）若y=f（x）在[-，]上單調遞增，求 的取值范圍；

（2）令 =2，將函數y=f（x）的圖像向左平移

個單位，再向上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖

像，區間[a，b]（a，b∈R且a

解析：（1）因為 >0，根據題意有- ≥-， ≤ 0< ≤所以， 的取值范圍為（0，].

（2）f（x）=2sin（2x），g（x）=2sin（2（x+））+=2sin（2x+）+1，g（x）=0 sin（2x+）=- x=k-或x=k-，k∈Z，即g（x）的相離零點間隔依次為和，故若y=g（x）在[a，b]上至少含有30個零點，則b-a的最小值為14×+15×=.

評析：f（x）=2sin（ x）在[-，]上單調遞增，令t= x，x∈[-，]， >0，則t∈[- ， ] [-，]，所以- ≥-， ≤ 0< ≤.

6.（本小題共12分）已知函數f（x）=sinx+cosx，

f ′（x）是f（x）的導函數.

（1）求函數g（x）=f（x）·f ′（x）的最小值及相應的x值的集合；

（2）若f（x）=2f ′（x），求tan（x+）的值.

解析：（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f ′（x）=cosx-sinx，…… 2分

∴g（x）=f（x）·f ′（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）

=cos2x-sin2x=cos2x， …… 4分

∴當2x=-+2k（k∈Z）， 即x=-+k（k∈Z）時，g（x）取得最小值-1，相應的x值的集合為{x|x=-+k，k∈Z}.…… 6分

評分說明：學生沒有寫成集合的形式的扣分.

（2）由f（x）=2f ′（x）， 得sinx+cosx=2cosx-2sinx，

∴cosx=3sinx，故tanx=. …… 10分

∴tan（x+）===2. …… 12分

評析：本題是2013年高考題，題目難度不大，但評分要求很高，很多考生因為跳步或不注意題目要求，拿不到高分.

下面再看一題關于考察三角函數性質的題的評分細則：

7.（滿分12分）已知函數f（x）=sinx+acos2，a為常數，a∈R，且x=是方程f（x）=0的解.

（1）求函數f（x）的最小正周期；

（2）當x∈[0，]，求函數f（x）的值域.

解析：（1）f（）=sin+acos2=0，則1+a=0，解得a=-2. ……3分

所以f（x）=sinx-2cos2=sinx-cosx-1，則f（x）=

sin（x-）-1， ……5分

所以函數f（x）的最小正周期為2. ……6分

（2）由x∈[0，]得x-∈[-，]，則sin（x-）∈[-，1]， ……10分

則sin（x-）∈[-1，]，sin（x-）-1 ∈[-2，-1]，則函數f（x）的值域為[-2，-1]. ……12分

總結：在復習時要充分運用數形結合的思想， 把圖像與性質結合起來， 即利用圖像的直觀性得出函數的性質， 同時也要能利用函數的性質來描繪函數的圖像， 這樣既有利于掌握函數的圖像與性質， 又能熟練地運用數形結合的思想方法.

（作者單位：廣州市第二中學）

責任編校 徐國堅