專題二、三角恒等變換

一、考點歸納

1. 能用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式；

2. 能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式， 二倍角的正弦、余弦、正切公式， 了解它們的內在聯系；

3. 能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括導出積化和差、和差化積、半角公式， 但不要求記憶）.

二、知識點精講

1. 兩角和與差的三角函數.

sin（ ± ）=sin cos ±cos sin ；cos（ ± ）=cos cos sin sin ；tan（ ± ）=.

注：輔助角公式asinx+bcosx=·sin（x+ ），

其中sin =，cos =.

2. 二倍角公式.

sin2 =2sin cos ；cos2 =cos2 -sin2 =2cos2 -1=1-2sin2 ；tan2 =.

注：降冪公式.

sin cos =sin2 ；sin2 =；cos2 =.

3. 三角函數式的化簡.

（1）常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；

（2）化簡要求：①能求出值的應求出值； ②使三角函數種數盡量少； ③使項數盡量少.

4. 三角函數的求值類型有三類.

（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角， 要觀察所給角與特殊角間的關系， 利用三角變換消去非特殊角， 轉化為求特殊角的三角函數值問題；

（2）給值求值：給出某些角的三角函數式的值， 求另外一些角的三角函數值， 解題的關鍵在于“變角”， 如 =（ + ）- ，2 =（ + ）+（ - ）等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；

（3）給值求角：實質上轉化為“給值求值”問題， 由所得的所求角的函數值結合所求角的范圍及函數的單調性求得角.

5. 三角等式的證明.

（1）三角恒等式的證題思路是根據等式兩端的特征， 通過三角恒等變換， 應用化繁為簡、左右同一等方法， 使等式兩端化“異”為“同”；

（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察， 發現已知條件和待證等式間的關系， 采用代入法、消參法或分析法進行證明.

三、例題精選及評析

1. 已知 ∈R，sin +2cos =，則tan2 =

（ ）

A. B. C. - D. -

解析：由sin +2cos =，得到sin2 +4sin

cos +4cos2 =，則=，分子分母同除以cos2 ，得到=，則tan =3或tan =-，所以tan2 ==-，選C .

評析：本題還可以聯立sin +2cos =和sin2 +cos2 =1得到sin ，cos 的值，但本題解法計算更簡捷.

2. 4cos50°-tan40°=（ ）

A. B.

C. D. 2-1

解析：

4cos50°-tan40°=4cos50°-=4sin40°-====

===，選C.

評析：4cos50°-tan40°=4cos50°-這一步是切化弦；4cos50°-=4sin40°-這一步是角的統一；=這一步是非特殊角向特殊角的轉化，本題綜合運用了誘導公式， 倍角公式， 兩角和差公式， 是一道典型的三角變換的綜合題.

3. 設當x= 時，函數f（x）=sinx-2cosx取得最大值，則cos =______.

解析：f（x）=sinx-2cosx=（sinx-cosx）=sin（x- ）.

當x- =+2kx，即 =+2kx+ 時，f（x）取最大值，則cos =cos（+2kx+ ）=-sin ，由（sinx-cosx）=sin（x- ）知sin =，cos =

-，答案為：-.

評析：本題只有掌握了輔助角公式才能看出sin =.

4. 已知函數f（x）=cos（x-），x∈R.

（1）求f（-）的值；

（2）若cos =， ∈（，2），求f（2 +）.

解析：（1）f（-）=cos（--）=cos（-）=cos=1；

（2）f（2 +）=cos（2 +-）=cos

（2 +）=（cos2 cos-sin2 sin）=cos2 -sin2 .

因為cos =， ∈（，2），所以sin =-，

所以sin2 =2sin cos =-， cos2 =cos2 -sin2 =-，所以f（2 +）=cos2 -sin2 =--（-）=.

評析：本題難度不大，主要是書寫步驟要到位，下面對容易忽略的步驟進行點評. f（-）=cos（--）這一步是將-代入， 不能省略， 是一個得分點；cos（2 +）=（cos2 cos-sin2 sin）這一步是考察兩角余弦和公式，要寫；因為cos =， ∈（，2），所以sin =- ， 這一步易忽略對 ∈（，2）的標注.

5. 已知函數f（x）=sin（x-）+cos（x-），g（x）=2sin2.

（1）若 是第一象限角， 且f（ ）=，求g（ ）的值；

（2）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合.

解析：（1）f（x）=sinx-cosx+cosx+sinx=sinx，則f（ ）=sin =.

∵sin =， 為第一象限角，∴cos =，∴g（ ）=

2sin2=1-cos =.

（2）∵f（x）≥g（x），∴sinx≥1-cosx，∴

sinx+cosx=sin（x+）≥，∴x+∈[2k+，2k+]，∴x的取值集合為{x│2k≤x≤2k+，k∈Z}

評析：本題的難點在第（2）問解三角不等式：sin（x+）≥， 可令t=x+， 轉化為解不等式sint≥， 運用三角函數圖象或三角函數線先找到一個周期內滿足條件的范圍為[，]， 然后根據三角函數的周期性， 得到t在實數集上的范圍為[2k+，2k+]， 再求出x的范圍對應的集合.

6. 如圖， 角A為鈍角， 且sinA=， 點P、Q分別是在角A的兩邊上不同于點A的動點.設∠APQ= ，∠AQP= ，且cos =，求sin（2 + ）的值.

解析：由cos =， ∈（0，），得sin =.

在△APQ中， + +A=.

又sin（ + ）=sin（-A）=sinA=，

∴sin（2 + ）=sin[ +（ + ）]=

sin cos（ + ）+

cos sin（ + ） =

·+·=.

評析：sin（2 + ）=sin[ +（ + ）]采用了角的拼湊， 這是常用的角的轉化方法.

（作者單位：廣州市第二中學）

責任編校 徐國堅