專題三、解三角形

一、 考點歸納

1. 理解并能推導正弦定理、余弦定理及三角形面積公式（兩邊夾角式），并能用其解決一些簡單的三角形度量問題；

2. 熟練掌握三角形中的常用邊角關系并能用其解決相關問題.

二、 知識點精講

以下a，b，c分別是△ABC的內角A，B，C的對邊，R為△ABC的外接圓的半徑，r為△ABC的內切圓的半徑.公式和定理中，可以進行輪換，即可將a，b，c分別換為b，c，a或c，a，b，相應角也同時輪換.

1. 正弦定理： = = =2R，

變式一： = ； = ； = ；

變式二：sinA= ，sinB= ，sinC= ，…

變式三：a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC；

變式四：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；

變式五：sinA= ，sinB= ，sinC= .

2. 余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosA；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC.

變式：cosA= ；cosB= ；cosC= .

3. 三角形面積公式：

（1）S△= aha= bhb= chc（ha、hb、hc分別表示邊a、b、c上的高）；

（2）S△= absinC= bcsinA= acsinB；

變式： =ha=bsinC= csinB；S△=2R2sinAsinBsinC= .

（3）S△= r（a+b+c）=rp=

（p= （a+b+c））.

4. 三角形中的常用邊角關系：

（1）等量關系：

①角關系：A+B+C=，

變式：A=-（B+C）， = - ，…

推論：sin（A+B）=sinC，cos（A+B）=-cosC，tan（A+B）=-tanC，…

sin =cos ，cos =sin ，tan =cot = ，…

②邊角關系：正弦定理、余弦定理、勾股定理；

投影定理a=bcosC+ccosB（了解）.

（2）不等關系：

①內角范圍：A，B，C，A+B，B+C，C+A∈（0，）；

變式： ， ， ， ， ， ∈（0， ）；A-B∈（-，），…

推論：0

② 三邊關系：a，b，c>0；a+b>c>a-b；…

③ 邊角及其正余弦大小轉化：cosA>cosBA

5. 解三角形的常見類型：

由三角形的六個元素（即三條邊和三個內角）中的三個元素（其中至少有一個是邊）求其他未知元素的問題叫做解三角形.主要類型：

（1）應用正弦定理求解：

①知兩角和一邊，求其他的兩邊及一角.有唯一解

②知兩邊和其中一邊對角，求其他邊角.解有多種情況，見下表.

知a，b，A求解的解情況如下表（注意數形結合，其中bsinA=h為c邊上的高）：

（2）應用余弦定理求解：

①已知三邊求三角.滿足三邊大小關系才有解，有解必是唯一解；

②已知兩邊和夾角，求第三邊和另兩角.有唯一解.

6. 判斷三角形形狀：

一般要求根據條件判斷是否為等腰（進而是否為等邊）、是否為直角三角形，否則判斷是鈍角還是銳角三角形.判定時，一般利用正、余弦定理實現邊角轉化，統一成邊的形式或角的形式（特別要注意角的范圍）.

（1）確定最大角（兩較小角必為銳角）并根據余弦定理判定（分母為正只看分子）.

若最大角為A，則可判定如下：

b2+c2=a2cosA=0A=90°△ABC為直角三形；

b2+c2>a2cosA>0A<90°△ABC為銳角三角形；

b2+c290°△ABC為鈍角三角形.

（2）根據正弦定理得出邊角關系判定：

sinA=sinBa=b△ABC為等腰三角形，C為頂角；

sinA=sinB=sinCa=b=c△ABC為等邊三角形.

（3）根據三角函數性質得出邊角關系判定：

cosA=cosB>0A=B△ABC為等腰三角形，C為頂角；

tanA=tanB>0A=B△ABC為等腰三角形，C為頂角；

cosA=cosB=cosCA=B=C△ABC為等邊三角形；

cos2A=cos2B>0A=B△ABC △ABC為等腰三角形，C為頂角；

sin2A=sin2B>0A=B或A+B= △ABC為等腰或者直角三角形.

三、 例題精選及評析

1.（2013年天津理）在△ABC中，∠ABC= ，AB= ，BC=3，則 sin∠BAC=（ ）

A. B.

C. D.

解析：畫示意圖，條件即B= ，c= ，a=3，由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB得b= .

再由正弦定理sinA= = = ，答案為C.

評析：一般用a，b，c表示邊書寫簡單易記，結合圖形輔助可避免出錯，解三角形問題關鍵是正確選用正、余弦定理，知兩邊及夾角用余弦定理求出第三邊，知兩邊及對角用正弦定理.

2. （2013年陜西卷理）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，則△ABC的形狀為（ ）

A. 銳角三角形 B. 直角三角形

C. 鈍角三角形 D. 不確定

解法一：由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入條件得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinAsin（B+C）=sinA=sin2A sinA=1（sinA>0）.

解法二：作△ABC邊BC上的高AD，

則易知有投影定理：bcosC+ccosB=a，

由條件得sinA=1A=90°，答案為B.

評析：本題關鍵是根據條件選用正弦定理把條件式化為角關系式，再利用兩角和公式及三角形中的常用邊角關系化簡，結合內角范圍確定A為直角.一般條件式兩邊都有邊的可以用正弦定理變式化邊為角.法二：用到投影定理要求較高，對基礎較好的同學可以記住并直接應用，則更快捷.

3.（2013年遼寧理）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c. 若asinBcosC+csinBcosA= b，且a>b，則∠B=（ ）

A. B. C. D.

解析：由正弦定理可知 =sinA， =sinC所以條件可化為sinAcosC+sinCcosA= sin（A+C）=sinB= .

又由a>b可知A>B所以B為銳角.因此B= ，答案為A.

評析：條件式兩邊均有邊時常用正弦定理，對正弦定理的變式要熟知，如asinB=bsinA則可更快化簡條件.三角形內角有特殊范圍限制，大邊對大角，較小的內角都是銳角.

4. （2013年汕頭二模）設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且a= ，c= ，A=45°，則角C= .

解析：由正弦定理sinC= = ，因為h=csinA=

評析：知兩邊一對角可直接用正弦定理求解，但由正弦值求角時要結合圖確定是一角還是兩解.這是易錯題，要特別注意.

5.（2013年安徽理）設△ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若b+c=2a，則3sinA=5sinB，則角C=_____.

解析：由正弦定理 = 及條件3sinA=5sinB，可知3a=5b，又b+c=2a可得b= a，c= a，由余弦定理得cosC= = =- .

∵C∈（0，），∴C= .

評析：條件式兩邊均有正弦的可用正弦定理化角為邊，三邊統一用相同量表示是解題關鍵，再用余弦定理可求角.本題可取a=5k，則得b=3k，c=7k可簡化計算避免出錯，當三邊成比例關系時，由相似三角形角大小不變，可令k=1進行求角計算.最后一定要注意內角范圍.

6.（2013年湖北卷理）在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別是a，b，c.已知cos2A-3cos（B+C）=1.

（I）求角A的大小；

（II）若△ABC的面積S=5 ，b=5，求sinBsinC的值.

解析：（I）∵△ABC中，B+C=-A，∴cos（B+C）=-cosA.由已知條件得：cos2A+3cosA=1.

∴2cos2A+3cosA-2=0，解得cosA= ，∵A∈（0，），∴A=60°.

（II）b=5，S= bcsinA=5 c=4，

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得a2=21.

解法一：由正弦定理 = = =2R得（2R）2= =28，∴sinBsinC= = .

解法二： = sinBsinC= = = .

評析：見B+C就應該想到A，即有cos（B+C）=-cosA，則第一問易解；知值求角要先確定范圍，這是得分點與扣分點.第二問關鍵是用好面積公式求另一邊c長，再綜合應用正、余弦定理，用好正弦定理中比值2R可以實現角與邊相互轉化，把求正弦積化為求邊之積是常用方法之一，也可應用正弦定理變式直接化角為邊.

7.（2013年山東）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= .

（Ⅰ）求a，c的值；

（Ⅱ）求sin（A-B）的值.

解析：（Ⅰ）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得b2=（a+c）2-2ac（1+cosB）， 又a+c=6，b=2，cosB= ，所以ac=9，解得a=3，c=3.

（Ⅱ）在△ABC中，B∈（0，），sinB>0，∴sinB= = ，由正弦定理得sinA= = ，∵因為a=c，∴A為銳角，cosA>0.

∴cosA= = ，∴sin（A-B）=sinAcosB-

cosAsinB= .

評析：見到a+c就要聯想到（a+c）2，a2+b2，ac，見到cosB就想到余弦定理，由兩角差公式可把問題（2）化為內角A，B的正余弦，因此可用正余弦定理解決.此題屬容易題，要求快速準確作答，注意解答規范，其中“B∈（0，），sinB>0”“A為銳角cosA>0”以及公式cosA= 不可缺少，開方前確定角范圍確定函數值符號，否則會扣分.

8.（2013年全國卷）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（a+b+c）（a-b+c）=ac.

（I）求B； （II）若sinAsinC= ，求C.

解析：（I）（a+b+c）（a-b+c）=ac（a+c）2-b2=aca2+c2-b2=-ac.

由余弦定理得cosB= = =- .

∵△ABC中 B∈（0，），∴B= .

（II）由（I）知A+C=-B= ，

∴cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC

=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC

=cos（A+C）+2sinAsinC

= +2× = .

∵ △ABC中A-C∈（-，），∴A-C=± .

∴C= = 或 .

評析：解三角形問題通常要求熟練應用正弦定理和余弦定理，還經常用到兩角和與差的三角變換公式，三邊見平方關系就要想到余弦定理，則第（1）問不難，而第（2）問關鍵在于能否由sinAsinC聯想到cos（A+C），cos（A-C）以及后兩者的關系，知一角B要馬上想到可求A+C，進而希望得出關于A，C的另一關系式以解方程組得出C.解三角形問題以熟練掌握三角變換公式為基礎，復習備考要重視同角關系式、誘導公式、和差倍半公式在解三角形中的應用.

（作者單位：廣州市第二中學）

責任編校 徐國堅