專題四、三角綜合應用

一、 考點歸納

1. 熟練掌握三角變換公式、三角函數圖像性質、掌握三角形中邊角關系（正弦定理、余弦定理、面積公式），并能用其解決相關的綜合問題.

2. 能夠運用正弦定理、余弦定理以及三角變換公式等解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.

二、知識點精講

1. 解三角形應用題：

（1）理解測量中相關角概念：

①方向角：一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角），如北偏東××度.

②俯角和仰角：在視線與水平線所成的角——

視線在水平線上方的角叫仰角，

視線在水平線下方的角叫俯角.

如圖中OD、OE是視線，OC為水平線，∠DOC是仰角， ∠EOC是俯角.

③方位角：一般是指以觀測者的位置為中心，將正北方向作為起始方向順時鐘方向旋轉到目標的方向線所成的角.

（2）求解三角形應用題的一般步驟：

①審題：分析題意，弄清已知和所求；

②建模：將實際問題轉化為數學問題，寫出已知與所求，并畫出示意圖；

③求解：正確運用正、余弦定理、面積公式求解；

④檢驗：檢驗上述所求是否符合實際意義；

⑤作答：問什么答什么.

（3）常見類型： 不少常見三角應用題可歸結為圖中知部分量求其他量的問題.

圖形1：CD⊥AB，AB=m，BD=n，AC=p，BC=q，CD=h，∠BAC= ，∠DBC= .

① 知m， ， ，求h（C到線路AB的距離或物體的高等）.

由tan = ，tan = ，聯立方程組得：

h=mtan +h h= ；

② 知h， ， 求m或知h，m， ， ，求n.

可看作①逆向問題.

當圖形在水平面上時可看作距離或物體寬度，當圖形在垂直面上時可看作物體的高度問題.

③ 知m，n，h求視角∠ACB（h或n之一為變量時可求最大值）.

tan∠ACB=tan（ - ）= = =

.

圖形2：兩三角形綜合問題.

已知∠BCA= ，∠ACD= ，∠CDB= ，∠BDA= ，求AB.

在△ADC，△BDC中應用正弦定理得：

AC= = ；

BC= = .

再在△ABC中，應用余弦定理可得：

AB= .

2. 三角綜合問題常見題型：

（1）解三角形、三角變換與三角函數圖像、性質綜合；

（2）三角與向量綜合；

（3）三角與函數、不等式綜合；

（4）三角與幾何綜合；

（特別注意在解析幾何與立體幾何中涉及三角形的計算時要有解三角形的思想）

（5）三角與數列綜合.

三、 例題精選及評析

1. 在某海島的山頂上設有一燈塔，有一測量船在A處測得燈塔在其北偏東60°且仰角為30°，當該船向正東航行了600米到達B處時測得燈塔在其北偏西15°，則此燈塔海拔高度是________米.

解析：畫出示意圖如歷右，設D處的燈塔在海平面射影為C，

依題意知∠CAD=30°，CD⊥AC ∴h=CD=ACtan∠CAD；

∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°-15°=75，

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=75°=∠ABC，

∴AC=AB=600，∴ h=600 tan30°=200 米.

評析：本題是解三角形的應用題，關鍵是理解測量中相關角概念，根據題意畫出圖形，弄清相應邊角.注意出現等腰或直角三角形時要用特別方法處理，以減少計算量.

2.（2013年廣州二模）某單位有A、B、C三個工作點，需要建立一個公共無線網絡發射點0，使得發射點到 三個工作點的距離相等.已知這三個工作點之間的距離分別為AB=80m， BC = 70m， CA=50m.假定A、B、C、O四點在同一平面內.

（1）求∠BAC的大??； （2）求點O到直線BC的距離.

解析：（1）在△ABC中，因為AB=80m， BC = 70m， CA=50m，

由余弦定理得cos∠BAC= …2分

= = .…………………………3分

因為∠BAC為△ABC的內角，所以∠BAC= .

………………………………………………4分

（2）因為發射點O到A、B、C三個工作點的距離相等，所以點O為△ABC外接圓的圓心.設外接圓的半徑為R. …………………………………5分

方法1：在△ABC中，由正弦定理得 =2R， ……………7分

因為BC=70，由（1）知A= ，所以sinA= .

所以2R= = ，即R= .

過點O作邊BC的垂線，垂足為D. ………9分

在△OBD中，OB=R= ，BD= = =35，

所以OD= = = .……………………………………11分

所以點O到直線BC的距離為 m. …………………………………………12分

方法2：連結OB，OC，過點O作邊BC的垂線，垂足為D，

由（1）知∠BAC= ，所以∠BOC= .

所以∠BOD= .………9分

在Rt△BOD

中，BD= = =35，

所以OD= = = .

…………………………………………11分

所以點O到直線BC的距離為 m…………………………………………12分

評析：本小題主要考查解三角形等基礎知識的應用題，考查正弦定理與余弦定理的應用，屬于中難度題，由于三角應用題較少訓練此屆考生多數沒能做好，所以復習備考不可忽視應用題.三角應用題一般難度并不大，畫出圖形很有必要，要善于抓住要點把問題轉化為解三角形問題，本題“發射點O到A、B、C三個工作點的距離相等，所以點O為△ABC外接圓的圓心”是轉化的關鍵，法二用到平面幾何性質定理，這是解三角形常法之一，因此要注意平面幾何性質定理的復習，也可用正弦定理求R；通過作高化為直角三角形是解三角形的常法.最后一定要作答，否則會扣分.此題還可以用解析幾何方法求角，BC為軸建立坐標系，根據條件求出O縱坐標，但計算量稍大些.

3. （2013年廣州一模理）已知函數f（x）=Asin

（ x+ ）（其中x∈R，A>0， >0）的最大值為2，最小正周期為8.

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）若函數f（x）圖像上兩點P、Q的橫坐標依次為2，4，O為原點，求△ POQ的面積.

解析：（1）∵ f（x）的最大值為2，且A>0，∴

A=2. …………………………………………1分

∵ f（x）的最小正周期為8，∴T= =8，得

= .…………………………………2分

∴ f（x）=2sin（ x+ ）.…………………3分

（2）∵ f（2）=2sin（ + ）=2cos = ，

……………………………………4分

f（4）=2sin（+ ）=-2sin =- ， ……5分

∴ P（2， ），Q（4，- ） .

解法1：∴│OP│= ，│PQ│=2 ，│OQ│=3 . ……………………8分

∴cos∠POQ= =

= . …10分

∴ sin∠POQ= = .……11分

∴△POQ的面積為S= OPOQsin∠POQ=

× ×3 × =3 .………………12分

解法2：

∴ =（2， ）， =（4，- ）. ………8分

∴ cos∠POQ=cos< ， >= = = .（下同法一） …………10分

解法3：

∴直線OP的方程為y= x，即x- y=0. …………………………………………7分

∴點Q到直線OP的距離為d= =2 . …………………………………………9分

∵ │OP│= ∴△POQ的面積為S= │OP│·d= × ×2 =3 . …………………12分

評析：本小題主要考查三角函數的圖像與性質、誘導公式、余弦定理、正弦定理、兩點間距離公式等知識，是典型的三角函數與解三角形以及解析幾何知識的綜合問題，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力.三角形面積可用底高法，也可以用兩邊夾角法，而求高可轉化為點到線的距離并利用解析幾何知識求解，用夾角時先求夾角余弦值再求其正弦值，而求夾角余弦值可用余弦定理也可用向量夾角公式計算.復習時要多思考，盡量一題多解，加強知識聯系，這樣能更好復習，把各章節融會貫通.本題屬容易題，要求快速準確作答，注意解答規范，要求先寫出公式再代值計算，公式是重要的得分點與扣分點，特別是由余弦值求正弦的公式不可不寫出.

4. （2013年遼寧數學）設向量 =（ sinx，sinx）， =（cosx，sinx），x∈[0， ].

（I）若| |=| |求x的值； （II）求函數f（x）= · 的最大值.

解析：（I）| |2=（ sinx）2+（sinx）2=4sin2x，| |2=（cosx）2+（sinx）2=1.

又| |=| |，所以sin2x= .

∵x∈[0， ]， ∴ sinx>0，∴ sinx= ，∴ x= .

（II） f（x）= · = sinx·cosx+sinx·sinx=

sin2x+ （1-cos2x）= sin2x- cos2x+ =sin2xcos -cos2xsin + =sin（2x- ）+ .

當x= ∈[0， ]時 2x- = ，sin（2x- ）取最大值1，

∴ f（x）的最大值為 .

評析：本題考查向量與三角函數性質，是一類常見典型的綜合問題，關鍵是熟練掌握向量坐標運算，把問題轉化為三角函數問題.本題屬容易題，重點是熟練掌握向量運算以及三角變換公式，注意解題規范.

5. （2013年四川）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b.c，且2cos2 cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=- .

（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4 ，b=5，求向量 在 方向上的投影.

解析：（Ⅰ）由2cos2 cosB-sin（A-B）sinB+cos（A+C）=- ，得 [cos（A-B）+1]cosB-sin（A-B）sinB-

cosB=- ， 即cos（A-B）cosB-sin（A-B）sinB=- ， 則cos（A-B+B）=- ，即cosA=- .

（Ⅱ）由cosA=- ，0

由正弦定理，有 = ，所以sinB= = .

由題知a>b，則A>B，故B= .

根據余弦定理，有（4 ）2=52+c2-2×5c×（- ）， 解得c=1或c=-7（舍去）.

故向量 在 方向上的投影為 cosB= .

評析：本題是三角變換、解三角形與向量的綜合，借助向量投影的意義所求問題轉化為求余弦值的問題，從而可用正、余弦定理求解.解三角形時經常要用三角變換公式，解題關鍵是熟練三角變換公式.

6.（2013年江蘇）已知 =（cos ，sin ）， =（cos ，sin ），0< < <.

（1）若│ - │= ，求證： ⊥ ；（2）設 =（0，1），若 + = ，求 ， 的值.

解析：（1）∵ │ - │= ， ∴ =（ - ）2= -2 · + =2， 又∵ = =cos2 +sin2 =1， = =cos2 +sin2 =1，

∴ 2-2 · =2，∴ · =0，∴ ⊥ .

（2）∵ = + =（cos +cos ，sin +sin ）=（0，1），

∴cos +cos =0，sin +sin =1，即cos =-cos ，sin =1-sin .

兩邊分別平方再相加得：

cos2 +sin2 =cos2 +1-2sin +sin2 1=2-2sin ，

∴ sin = ，∴ sin = .

∵ 0< < <，∴ = ， = .

評析：本題是三角變換與向量的綜合題，重點是熟悉向量基本運算和三角公式.

7. （2013年江西理）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+（cosA- sinA）cosB=0.

（1）求角B的大??；（2）若a+c=1，求b的取值范圍.

解析：（1）由已知得-cos（A+B）+cosAcosB-

sinAcosB=0.

即有 sinAsinB- sinAcosB=0.

因為△ABC中A，B∈（0，），sinA>0，sinB>0，

所以sinB- cosB=0，所以tanB= ，

又0

（2）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB.

因為a+c=1，cosB= ，有b2=3（a- ）2+ .

又0

法二：由條件及余弦定理得b2=（a+c）2-2accosB=1-3ac.

a>0，c>0，a+c=1≥2 ac≤ 1-3ac≥ .

上式當且僅當a=c時取“=”，所以b2有最小值 ，b≥ .

又∵△ABC中a+c>b，∴ ≤b<1.

評析：本題是三角與函數、不等式的綜合問題，關鍵是把b表示為a的函數，注意三角形邊長為正以及三邊關系等隱藏條件是正確確定范圍的前提.

8. （2013年江蘇）如圖，游客從某旅游景區的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲出發2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經測量，cosA= ，cosC= .

（1）求索道AB的長；

（2）問乙出發多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？

解析：（1）∵在△ABC中cosA = ，cosC= ，∴ A、C∈（0， ），∴sinA= ，sinC = .

∴ sinB=sin[-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC= .

根據正弦定理 = 得 AB= sinC=1040m.

（2）設乙出發t分鐘后到達D處，相應甲到達E處，甲乙距離為DE=d，則AD =130t，AE=50（2+t）=100+50t，由余弦定理得：

d2=（130t）2+（100+50t）2-2×130t×（100+50t）× ，

∴ d2=200（37t2-70t+50）.

∵依題意有0≤t≤ 即 0≤t≤8，

∴ t= 時，即乙出發 分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短.

（3） 由正弦定理 = ，得BC= sinA= × =500m.

乙從B出發時，甲已經走了50（2+8+1）=550m，還需走710m才能到達C.

設乙的步行速度為V （m/min），則 │ - │≤3，

∴-3≤ - ≤3， ∴ ≤v≤ .

∴為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在[ ， ]范圍內 .

評析：本題是以解三角形為考點，綜合考查函數、不等式知識的應用問題，用好圖形把實際問題轉化為解三角形問題是解此類應用題的關鍵，重點是熟練應用三角變換公式（平方關系、兩角和公式等）和正弦定理、余弦定理.（1）重點是用好角互補關系，利用三角公式知余弦值可以求正弦值，知兩角就可求第三角正、余弦值，進而就能用正弦定理求角.（2）結合圖形分析，把所求問題化為求三角形第三邊長的最小值問題是關鍵，引進變量、應用余弦定理列式是解題重點所在，再利用函數知識求最小值時要特別注意定義域.（3）行程問題關鍵是用好數量關系：時間=路程速度，因此先用正弦定理求出BC是第一步，再根據用時列式化為不等式問題就行了.

9.（2013年上海春招改編）在平面直角坐標系xOy中，點A在y軸正半軸上， 點Pn在x軸上， 其橫坐標為xn，且{xn}是首項為1、公比為2的等比數列，記∠PnAPn+1= n，n∈N .

（1）若tan 3= ，求點A的坐標；

（2）若點A的坐標為（0，8 ），求使 n取最大值相應n的值.

解析：（1）設A（0，t），∵{xn}是首項為1、公比為2的等比數列，∴ xn=2n-1.

如圖，Rt△OAPn中，易知tan∠OAPn= tan∠OAPn= = .

tan 3=tan（∠OAP4-∠OAP3）= = =

， 由tan 3= 得 = ，解得t=4或t=8. 故點A的坐標為（0，4）或（0，8）.

（2）由題意，點Pn的坐標為（2n-1，0），tan∠OAPn= .

tan n=tan（∠OAPn+1-∠OAPn）= =

= .

因為 · ≥2 ，所以tan n≤ = ，

當且僅當 = ，即n=4時等號成立.

易知0< n< ，y=tanx在（0， ）上為增函數，

因此，當時n=4， n最大.

評注：本題是三角與數列、不等式、函數、解析大綜合問題，難度不小，關鍵是利用內外角關系及兩角差的正切公式把角表示為n的式子化為函數與不等式問題.要從第（1）求解中領悟到角與n的關系式可通過正切公式建立.最后由正切最值到角最值轉化要用到復合函數單調性質，指明角范圍是不可少的.此題與人教版本必修五課本P15練習題3（如圖）有密切聯系（只是條件有所改變而已），建議復習時關注課本例題與習題.

（作者單位：廣州市第二中學）

責任編校 徐國堅