淺談微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

【摘要】微積分是高等數(shù)學(xué)偉大的成就之一，在日常生活的各個領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。利用高等數(shù)學(xué)微積分的數(shù)學(xué)定量來分析和解決各領(lǐng)域方面的問題己成為經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個重要部分，它使經(jīng)濟(jì)學(xué)由定性走向定量化，這使得微積分在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的作用越來越明顯。

【關(guān)鍵詞】微積分；經(jīng)濟(jì)學(xué)；邊際分析

微積分是高等數(shù)學(xué)的偉大成就。微積分產(chǎn)生于生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)，同時又影響著科技的發(fā)展。在經(jīng)濟(jì)學(xué)的領(lǐng)域內(nèi)，將一些經(jīng)濟(jì)問題利用相關(guān)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法對經(jīng)濟(jì)學(xué)問題進(jìn)行研究和分析，把經(jīng)濟(jì)活動中的實(shí)際問題利用微積分的方法進(jìn)行量化，在此基礎(chǔ)上得到的結(jié)果具有科學(xué)的量化依據(jù)。

1.微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1.1邊際分析

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際問題，是指每一個自變量的變動導(dǎo)致因變量變動多少的問題，所以邊際函數(shù)就是對一個經(jīng)濟(jì)函數(shù) 的因變量求導(dǎo)，得出 ，其中在某一點(diǎn)的值就是該點(diǎn)的邊際值。

例1：已知某工廠某種產(chǎn)品的收益 （元）與銷售量 （噸）的函數(shù)關(guān)系是 ，求銷售60噸該產(chǎn)品時的邊際收益，并說明其經(jīng)濟(jì)含義。

解：根據(jù)題意得，銷售這種產(chǎn)品 噸的總收益函數(shù)為 。因而，銷售60噸該產(chǎn)品的邊際收益是 元。其經(jīng)濟(jì)學(xué)含義是：當(dāng)該產(chǎn)品的銷售量為60噸時，銷售量再增加一噸（即 =1）所增加的總收益是188元。這個問題看起來很簡單，但是在實(shí)際生活中的應(yīng)用意義很大。又如：

例2：某工廠生產(chǎn)某種機(jī)械產(chǎn)品，每月的總成本C（千元）與產(chǎn)量x（件）之間的函數(shù)關(guān)系為 ，若每件產(chǎn)品的銷售價為2萬元，求每月生產(chǎn)6件、9件、156件、24件時的邊際利潤，并說明其經(jīng)濟(jì)含義。

解：根據(jù)題意得，該廠每月生產(chǎn)x件機(jī)械產(chǎn)品的總收入函數(shù)為 。因此，該廠生產(chǎn)的x件產(chǎn)品的利潤函數(shù)為： ，由此可得邊際利潤函數(shù)為 ，那么每月該廠生產(chǎn)6件、9件、15件、24件時的邊際利潤分別是： （千元/件）， （千元/件）， （千元/件）， （千元/件）。這個經(jīng)濟(jì)學(xué)的含義是：當(dāng)該廠月產(chǎn)量為6件時，若再增產(chǎn)1件，此時的利潤將會增加18000元；當(dāng)該廠的月產(chǎn)量為9件時，若再增產(chǎn)1件，利潤將增加12000元，有所降低；當(dāng)月產(chǎn)量增加到15件時，再增產(chǎn)1件，利潤反而不會增加；當(dāng)月產(chǎn)量為24件時，若再增產(chǎn)1件，此時的利潤反而會相應(yīng)的減少18000元。由此我們可以得出結(jié)論，產(chǎn)品的利潤最大，并不是出現(xiàn)在最大量的時候，也就是說多增加產(chǎn)量必定能夠增加利潤，只有合理統(tǒng)籌安排工廠的生產(chǎn)量，這樣才能取得最大的利潤。由此可得結(jié)論，當(dāng)產(chǎn)品的邊際收益等于產(chǎn)品的邊際成本時，此時就已經(jīng)達(dá)到了最大利潤，如果再進(jìn)行擴(kuò)大生產(chǎn)了，產(chǎn)品反而會虧本。

1.2彈性分析

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，某變量對另一個變量變化的反映程度稱為彈性或彈性系數(shù)[2]。

在經(jīng)濟(jì)工作中有很多種的彈性，研究的問題不同，彈性的種類也不同。如果是價格的變化與需求之間的反映，這個反映我們稱為需求彈性。由于消費(fèi)需求的不同以及商品自身屬性的差異，同樣的價格變化給不同的商品的需求帶來不同的影響。有些商品反應(yīng)很靈敏，彈性大，價格的變動會造成很大的銷售變動；有的商品反應(yīng)較緩慢，彈性小，價格的變動對其沒什么影響。

①需求彈性。對于需求函數(shù) ，由于價格上漲時，商品的需求函數(shù) 為具有一定單調(diào)性，是一個單調(diào)減函數(shù)， 與 異號，所以定義需求對價格的彈性函數(shù)為 。

例3：設(shè)某種商品的需求函數(shù)為 ，求需求的彈性函數(shù)； ， ， 的需求彈性。

解： ， ，說明當(dāng) 時，價格上漲1%，需求減少0.6%，需求變動的幅度小于價格變動的幅度； ，說明當(dāng) 時，價格上漲1%，需求也減少1%，需求變動的幅度與價格變動的幅度是相同的； ，說明當(dāng) 時，價格上漲1%，需求減少1.4%，需求變動的幅度大于價格變動的幅度。

②收益彈性。收益R是商品的價格 與其銷售量Q的乘積。在任何的價格水平條件下，收益彈性與需求彈性之和總是等于1。若 時，商品的價格上漲（或下降）1%，收益增加（或減少） ；若 時，價格變動1%，收益不變；若 時，價格上漲（或下降）1%，收益減少（或增加） 。

1.3最值分析

在生產(chǎn)理論中，研究長期生產(chǎn)問題通常主要是以兩種可變生產(chǎn)要素的生產(chǎn)函數(shù)來表示[3]。假如企業(yè)利用勞動和資本這兩種可變的生產(chǎn)要求來生產(chǎn)一種產(chǎn)品，那么可變生產(chǎn)要求的生產(chǎn)函數(shù)是： 。公式中L為可變要求勞動的投入量多少，K為可變要求資本的投入量的多少，Q為產(chǎn)品的產(chǎn)量。生產(chǎn)的產(chǎn)品廠商可以通過對兩個投入的可變生產(chǎn)要素的不斷調(diào)整來實(shí)現(xiàn)一定成本條件下的最大產(chǎn)量的最佳生產(chǎn)要素組合。假定生產(chǎn)要素市場上核定的勞動的價格即工資率為ω，核定的資本的價格即利息率為r，產(chǎn)品廠商核定的成本支出為C，則依據(jù)相關(guān)函數(shù)可得成本方程為： ，C 在一定的條件限制下，即： ，由此建立的拉格朗日方程：

產(chǎn)品產(chǎn)量最大化的一階條件為： ，

由以上兩式可得： ，由此得出核定條件下要想實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)量的要素組合原則是：即產(chǎn)品的廠商不斷通過對勞動和資本這兩種可變要素投入量的調(diào)整，使得最后一單位的成本支出不管用來購買哪種生產(chǎn)要素所獲得的邊際產(chǎn)量都是最高的，從而實(shí)現(xiàn)核定成本條件下的產(chǎn)量最大化。

1.4 最優(yōu)化分析

邊際分析研究的是函數(shù)邊際點(diǎn)上的極值[4]。也就是來研究變量在邊際點(diǎn)是遞增變?yōu)檫f減，還是由遞減變?yōu)檫f增，像這種邊際點(diǎn)的函數(shù)值就是函數(shù)的極大值或極小值。經(jīng)濟(jì)研究的重點(diǎn)就是研究邊際點(diǎn)是的最佳點(diǎn)，因?yàn)檫@是做出最優(yōu)決策的最合理的邊際點(diǎn)。因此，微積分法是研究最優(yōu)化問題是必不可少的方法。

最優(yōu)化理論是經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)濟(jì)分析的基礎(chǔ)，也是進(jìn)行經(jīng)濟(jì)決策的依據(jù)。實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)的最優(yōu)化，就是要求經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一切經(jīng)濟(jì)活動都處于最佳的頂峰位置，任何一點(diǎn)偏離都要從頂峰向下傾斜，這個必然會用到微分的思想。

例4：設(shè)生產(chǎn) 個產(chǎn)品的邊際成本 ，其固定成本為 元，產(chǎn)品的單價規(guī)定為500元.假設(shè)產(chǎn)銷平衡，問生產(chǎn)量為多少時利潤最大，并求出最大利潤。

解：總成本函數(shù)為，總收益函數(shù)為 ，總利潤 ， ，令 ，得 。因?yàn)?，所以當(dāng)生產(chǎn)量為200個時，利潤最大，最大利潤為L（200）=400 200-200 200-1000=39000（元）。

2.總結(jié)

微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的地位是非常重要的?，F(xiàn)如今在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，很多經(jīng)濟(jì)學(xué)研究均需要量化研究，所以越來越多地運(yùn)用到了微積分的知識，這不但有利于微積分的發(fā)展，還能夠幫助經(jīng)濟(jì)學(xué)更加的定量化、精密化和準(zhǔn)確化。微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用使得經(jīng)濟(jì)學(xué)得到重大發(fā)展，并最終導(dǎo)致了微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的形成。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳朝斌.微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)最優(yōu)化問題中的應(yīng)用[J].保山師專學(xué)報，2009（5）：34-36.

[2]張麗玲.微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用[J].百色學(xué)院學(xué)報，2009（5）：49-52.

[3]蔡洪新.微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（9）：99-100.

[4]向菊敏.微積分在經(jīng)濟(jì)分析活動中的應(yīng)用[J].科技信息，2011（26）：57-82.