基于傳遞矩陣的軸系振動計算研究

摘 要：分析船舶軸系震動的傳遞矩陣方法，建立了軸系的集總參數(shù)模型，推導(dǎo)出了軸系的通用傳遞矩陣。以某一軸為例，利用MATLAB計算軟件得到了軸系的臨界轉(zhuǎn)速并對其進(jìn)行了相應(yīng)的分析，得到了相關(guān)的結(jié)論，為軸系振動數(shù)值模擬方法提供了依據(jù)與方法。

關(guān)鍵詞：軸系；傳遞矩陣；臨界轉(zhuǎn)速

前言

隨著旋轉(zhuǎn)機(jī)械工作轉(zhuǎn)速的提高，為了使轉(zhuǎn)子工作平穩(wěn)，避免發(fā)生共振，對于轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的研究和計算成了轉(zhuǎn)子動力學(xué)的重要內(nèi)容之一。傳遞矩陣法以其概念清晰、公式簡單，被工程人員廣泛的應(yīng)用于轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速的計算中。在船舶工程領(lǐng)域，軸系的回轉(zhuǎn)振動所帶來的影響也十分突出，本文以機(jī)械振動基本原理為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合MATLAB計算軟件，可以很快地得出軸系的固有頻率、主振型等一些的重要數(shù)據(jù)，為軸系的設(shè)計提供理論依據(jù)。

1 傳統(tǒng)的傳遞矩陣法（Prohl法）

Prohl法的基本思想是把軸系這個轉(zhuǎn)子系統(tǒng)集總化為具有N個圓盤和L個彈性支承的模型，各個圓盤用無質(zhì)量的彈性軸段連接起來。如圖1所示。

針對轉(zhuǎn)子的第i個截面，設(shè)它的狀態(tài)參數(shù)有截面位移y、撓角θ、截面彎矩M、截面剪力Q，將這幾個參數(shù)記為 。于是可以得到第i個截面的狀態(tài)為 ，它與第i+1個截面之間的關(guān)系為： ，其中Ti表示原件的狀態(tài)傳遞矩陣，該矩陣是一個方陣，階數(shù)等于狀態(tài)向量的個數(shù)。根據(jù)各元件的運(yùn)動、受力和變形情況，可以得到典型元件的狀態(tài)傳遞矩陣。下面我們就簡單地推導(dǎo)一下這個傳遞矩陣。

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[1]，帶支承的慣性質(zhì)量圓盤單元的傳遞矩陣可表示為：

（1）

其中，JP為極轉(zhuǎn)動慣量；Jd為直徑轉(zhuǎn)動慣量。當(dāng)不考慮支承時，可認(rèn)為Ki=0；當(dāng)不考慮離散圓盤的回轉(zhuǎn)效應(yīng)和擺動慣量時，可取JP=Jd=0。

對于相鄰的兩個圓盤之間的關(guān)系，因?yàn)檩S重不計，由平衡條件及材料力學(xué)有關(guān)均勻軸的載荷與變形之間關(guān)系可得：

（2）

將（1）、（2）兩個矩陣合并，可得建立第i點(diǎn)和第i-1點(diǎn)狀態(tài)參數(shù)的關(guān)系：

將上式記為（3）式，同樣地，當(dāng)不考慮支承時，可認(rèn)為Ki=0；當(dāng)不考慮離散圓盤的回轉(zhuǎn)效應(yīng)和擺動慣量時，可取Jp=Jd=0。

根據(jù)相鄰截面之間的關(guān)系Zi+1=TiZi，可列式如下：

其中：

上述的推導(dǎo)表明了個截面的狀態(tài)參數(shù)Zi（i=1，2，3，...，N，N+1）與所定義的起始截面狀態(tài)參數(shù)Z1的關(guān)系，易知各截面的狀態(tài)參數(shù)都可以表示為起始截面狀態(tài)參數(shù)的線性組合。最終，系統(tǒng)的傳遞矩陣可寫為：

（4）

考慮到螺旋槳軸的左端邊界總是自由的，其狀態(tài)參數(shù)中力與彎矩總是為0，得到軸系的始末端有如下的關(guān)系：

（5）

在結(jié)合軸的右端的狀態(tài)，又可以將系統(tǒng)作相應(yīng)的簡化并可以得出相應(yīng)的邊界條件：

（1）當(dāng)系統(tǒng)右端為剛性鉸支時，其邊界條件為

（6）

（2）當(dāng)系統(tǒng)末端為自由端時，其邊界條件為：

（7）

（3）系統(tǒng)末端為固定端時，其邊界條件為：

（8）

在MATLAB中，運(yùn)用二分的思想，就可以很快地得出系統(tǒng)的各階臨界轉(zhuǎn)速，從而得到各截面的狀態(tài)參數(shù)，進(jìn)而可以得到軸的振型圖。

2 Riccati法[1]

Riccati法是在傳統(tǒng)的傳遞矩陣法上發(fā)展而來的，它把原來微分方程式的兩點(diǎn)邊值問題變換成了一點(diǎn)的初值問題從而保證了數(shù)值上的穩(wěn)定性。它把狀態(tài)向量中的4個元素分為e、f兩組，其中f全為0元素組成，e全為非0元素組成，在螺旋槳軸的兩端有：e=（y ？茲）T，f=（M Q）T（兩端都可以看成是自由端）。

于是傳遞矩陣就可以寫成：

（9）

其中：

由（9）式，將其進(jìn)行展開可得：

（10）

引入Riccati變換式：

（11）

將（11）代入（10）后，再將得到的新式與（11）作比較，可以得到Riccati傳遞矩陣的遞推公式如下所示：

（12）

由于f1=0，由（11）式可以得到：S1=0（這樣初值就可以給定了）。針對每個離散單元，t11、t12、t21、t22都是已知的，于是由（12）式可以得到各個截面的傳遞矩陣。對于螺旋槳軸的首端截面，有：

（13）

對于螺旋槳軸，采用自由端——自由端模式，可知有邊界條件：

（14）

即（13）有非0解條件，可以得到系統(tǒng)的頻率方程為：

（15）

由（15）式，可以在MATLAB中用二分逼近法得到系統(tǒng)的固有頻率，再利用（11）和（13）兩式就可以得到系統(tǒng)的振型。

3 應(yīng)用算例分析

接下來，將以一個具體的實(shí)例為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用MATLAB計算軟件，得到軸的臨界角速度和臨界轉(zhuǎn)速。如圖2所示為一根軸的簡易示意圖，將這根軸分解為18段，其中共有19個質(zhì)量點(diǎn)，質(zhì)量點(diǎn)的質(zhì)量根據(jù)具體的軸的大小而定。分別在第3和第17個質(zhì)量點(diǎn)上設(shè)置與軸承單元，剛度定為K1。

由于階數(shù)比較多，大致有39階，在此就不一一列舉了，只是挑選了其中影響較大的前7階。由以上數(shù)據(jù)可以看出，第二階和第三階之間相差很大，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)[2]可以知道，在利用Prohl方法計算軸系的臨界轉(zhuǎn)速的時候，會產(chǎn)生不小一部分的失跟現(xiàn)象，而采用Riccati可以很大地減少失根，因此強(qiáng)烈建議采用Riccati法計算軸系的臨界角速度，在此由于筆者時間、精力以及實(shí)力有限，就不在給出Riccati計算結(jié)果與程序了。

4 結(jié)束語

在數(shù)值計算螺旋槳軸系的臨界轉(zhuǎn)速方面，目前主要有三種方法，分別是上文所提到的Prohl法、Riccati法以及改進(jìn)的Riccati法[2]。其中改進(jìn)的Riccati法所得到的結(jié)果最多，產(chǎn)生漏根最少。以上只是對臨界轉(zhuǎn)速的數(shù)值方法的一種初算，結(jié)果并不是很精確，還需考慮更多影響因素，比如：陀螺矩陣效應(yīng)等等。本文對于轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速頗有參考意義，適用于對復(fù)雜機(jī)械設(shè)備臨界轉(zhuǎn)速的初算。同時，MATLAB強(qiáng)大的矩陣處理能力也在本文中得到了體現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)

[1]朱漢華.船舶螺旋槳軸振動與潤滑耦合理論和試驗(yàn)研究[D].湖北武漢：武漢理工大學(xué)，2005.6.

[2]王寧，梁智權(quán).轉(zhuǎn)子系統(tǒng)固有頻率的傳遞矩陣計算方法及其MATLAB實(shí)現(xiàn)[J].四川理工學(xué)院學(xué)報，2006.4，2，55-59.

[3]劉剛，吳煒，饒春曉等.基于傳遞矩陣法的船舶軸系回旋振動計算研究[J].中國艦船研究，2010.2，1，60-63.

[4]徐龍翔.高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸系動力學(xué)設(shè)計[M].北京：國防工業(yè)出版社，1994.