反思學(xué)生的困難，開發(fā)數(shù)學(xué)課程資源

反思學(xué)生的困難，開發(fā)數(shù)學(xué)課程資源

（ 江西省全南縣第二中學(xué) 341800）

摘 要：本文從一個(gè)全新角度探討中學(xué)數(shù)學(xué)課程資源的開發(fā)方式，提出以學(xué)生困難為課程資源開發(fā)的有效突破口。文中論述了課程資源開發(fā)的必要性，強(qiáng)調(diào)反思是課程開發(fā)的重要途徑，舉例說明了在十字相乘法教學(xué)和用方程計(jì)算三角形內(nèi)角教學(xué)中如何通過反思方式開發(fā)數(shù)學(xué)課程資源。文中所提出反思方式具備可操作性，能夠幫助提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，值得推廣。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課程資源；反思；數(shù)學(xué)資源開發(fā)

一、課程資源開發(fā)的必要性

1.課程資源的開發(fā)是有效教學(xué)的重要組成部分

有效教學(xué)首先需要有基本的時(shí)間和空間的保障，比如基本的安全而必需的場地、設(shè)施、設(shè)備、物資、資料等。沒有物質(zhì)資源的前提條件，就無所謂有效教學(xué)。

從課程資源的視角來看，有效教學(xué)就意味著“為學(xué)生提供豐富而有價(jià)值的課程資源”。我們的教材一般由出版社提供，但無論出版社所提供的教材和教輔資料如何“完美”和“精致”，教師仍然需要對這些教材進(jìn)行加工和改造。教師有責(zé)任通過對教材的“再度開發(fā)”來保證學(xué)生所接觸的教材是“安全”而有教育意義的。

所以說，課程資源的開發(fā)是有效教學(xué)的重要組成部分。

2.課程資源開發(fā)是“有效教師”的基本要求

什么是“有效教師”？可以有多種談?wù)摲绞剑部梢蕴岢龆喾N標(biāo)準(zhǔn)和期望。從有效教學(xué)的基本方向尤其是“隱形學(xué)習(xí)”、“體驗(yàn)學(xué)習(xí)”和“熱情求知”來看，真正的“有效教師”至少應(yīng)該是一個(gè)課程資源的開發(fā)者。教師的基本使命是為學(xué)生的體驗(yàn)學(xué)習(xí)提供足夠而有教育價(jià)值的課程資源。

二、反思是課程資源開發(fā)的有效途徑

杜威認(rèn)為，“反思”是一種特殊的思維方式，發(fā)生于某種直接經(jīng)驗(yàn)情境中的疑問、窘迫，由此引起有目的的探究問題解決。它憑借過去經(jīng)驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象做出推理，這些推理經(jīng)過檢驗(yàn)并作為后來行動(dòng)的依據(jù)。

受杜威的影響，美國麻省理工學(xué)院的蕭恩在1983年發(fā)表了《反思性實(shí)踐者》一書，暢談“反思性實(shí)踐”和“反思性行動(dòng)”；1987年又專門發(fā)表了《指導(dǎo)反思性教師》一書，反思教學(xué)于是漸漸成為教學(xué)研究領(lǐng)域關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一。

蕭恩的“在行動(dòng)中反思”主要是指學(xué)生在教師的幫助下“做中學(xué)”。這與杜威的想法大體是一致的。在《反思性實(shí)踐者》一書中蕭恩反復(fù)強(qiáng)調(diào)：任何課題化情境總是“復(fù)雜的”、“不確定的”、“不穩(wěn)定的”、“獨(dú)特的”、和“價(jià)值沖突的”。因?yàn)檫@個(gè)復(fù)雜的、不確定的、不穩(wěn)定的、獨(dú)特的和價(jià)值沖突的情境存在于任何已經(jīng)產(chǎn)生的理論和技術(shù)之外，實(shí)踐者就不能將它作為一個(gè)工具性問題并指望應(yīng)用他的頭腦里儲(chǔ)存好的專業(yè)知識(shí)來解決它。這個(gè)情境并不“在書中”，如果他期望有效地處理，他就不得不在自己的行動(dòng)中用自己設(shè)計(jì)的情境化策略嘗試性地解決它。

教師是否能夠成為課程資源的開發(fā)者，關(guān)鍵取決于教師是否能夠由“經(jīng)驗(yàn)教學(xué)”轉(zhuǎn)向“反思教學(xué)”，是否能夠由“經(jīng)驗(yàn)教師”走向“反思教師”或者“反思性實(shí)踐者”。教師只有成為“反思性實(shí)踐者”，不斷反思自己的教學(xué)行為和行為背后的教學(xué)理念，才能不斷開發(fā)和生成有價(jià)值的課程資源，實(shí)現(xiàn)有效教學(xué)。

三、反思學(xué)生的困難，開發(fā)課程資源

正如蕭恩所強(qiáng)調(diào)的，“任何復(fù)雜的、不確定的、不穩(wěn)定的、獨(dú)特的和價(jià)值沖突的情境存在于任何已經(jīng)產(chǎn)生的理論和技術(shù)之外，實(shí)踐者就不能將它作為一個(gè)工具性問題并指望應(yīng)用他的頭腦里儲(chǔ)存好的專業(yè)知識(shí)來解決它。”在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，就能經(jīng)常遇到用已有理論和經(jīng)驗(yàn)難以解決或者不便解決的情境，學(xué)生在此情境之下往往表現(xiàn)出困惑或者畏懼情緒。每當(dāng)遇到這種情形時(shí)，我們老師首先要重視學(xué)生的困難，向?qū)W生了解困難的根源，然后反思自己的教學(xué)，積極探索（可獨(dú)立探索，也可團(tuán)隊(duì)探索）出一個(gè)能盡量消除學(xué)生困難的教學(xué)內(nèi)容或方法。當(dāng)我們新探索出來的教學(xué)內(nèi)容或者方法受到學(xué)生歡迎時(shí)，這種變革式的教學(xué)內(nèi)容或者方法就可以轉(zhuǎn)化為我們寶貴的課程資源。這就是所謂的反思學(xué)生的困難，開發(fā)課程資源。

【案例1】用方程思想尋找角與角之間的關(guān)系

1.發(fā)現(xiàn)學(xué)生的困難

在七年級學(xué)生學(xué)習(xí)了三角形和角平分線的知識(shí)之后，經(jīng)常會(huì)遇到一種尋找角與角之間關(guān)系的問題，令學(xué)生感到困難。例如：

如圖所示，在 中， 的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)P， 試探求下列各圖中 與 的關(guān)系.

2.反思學(xué)生的困難

為什么學(xué)生會(huì)對這類問題感到困難呢？經(jīng)過查看學(xué)生的解答過程，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要存在兩方面的問題。第一是不會(huì)建立數(shù)學(xué)模型；第二是角的表達(dá)效果不好，不便于發(fā)現(xiàn)角與角之間的關(guān)系。針對這兩個(gè)問題，筆者經(jīng)過深刻的反思，總結(jié)出了易于被學(xué)生接受的解決辦法：用方程思想解決這類問題。首先，將相等的角用同一個(gè)未知數(shù)表示（設(shè)元）；其次，通過圖形建立起已設(shè)未知數(shù)和目標(biāo)角之間的關(guān)系式（列方程）；最后，聯(lián)立方程消去未知數(shù)（消元），產(chǎn)生只留有目標(biāo)角的關(guān)系式，化簡之后即可得到問題的解。

3.開發(fā)課程資源，解決學(xué)生的困難

解決問題的辦法想到了，現(xiàn)在需要給學(xué)生搭建一個(gè)學(xué)習(xí)的平臺(tái)，即開發(fā)課程資源。經(jīng)過搜集各類資料，整理了一些比較典型的題目供學(xué)生學(xué)習(xí)。

【案例2】十字相乘法分解因式

1.發(fā)現(xiàn)學(xué)生的困難

用過傳統(tǒng)十字相乘法分解因式教學(xué)的老師都會(huì)有相同的一種感覺，學(xué)生初學(xué)時(shí)會(huì)感到非常困難。一個(gè)班只有少部分?jǐn)?shù)學(xué)素質(zhì)較高的學(xué)生能夠接受這種方法，中等及以下的學(xué)生都會(huì)覺得這種嘗試性的分解因式方法過于復(fù)雜，不方便，從而對“十字相乘法分解因式”產(chǎn)生恐懼或者厭惡情緒。面對傳統(tǒng)的分解方法，面對這種方法帶來的教學(xué)效果，我們是否可以進(jìn)行反思一下，怎樣教才能消除學(xué)生初學(xué)時(shí)的恐懼心理，怎樣教才能讓學(xué)生喜歡上這種分解方法呢？

2.反思學(xué)生的困難

為了消除學(xué)生的恐懼心理，我們需要向?qū)W生了解情況，為什么會(huì)覺得十字相乘法分解因式繁瑣呢？原來，學(xué)生討厭分解過程中多次嘗試性地拆分，在每一次的分解過程中，他們都要經(jīng)過多次地嘗試才能把二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)成功拆分，甚至嘗試了很長時(shí)間都不能成功拆分。這種結(jié)果是學(xué)生不愿意看到的，學(xué)生覺得這樣的付出和收獲太不對等，所以他們不喜歡。

有沒有什么方法能夠減少嘗試次數(shù)，讓“十字相乘法分解因式”顯得簡單呢？帶著這個(gè)問題，筆者進(jìn)行了思考與探索，最終發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的困難根本所在：負(fù)號。大凡學(xué)生分解失敗的二次三項(xiàng)式，都是最少一項(xiàng)帶有負(fù)號。

3.開發(fā)課程資源，解決學(xué)生的困難

找到了困難之源，自然就可以摸索出解困之法。針對學(xué)生的這個(gè)困難，筆者嘗試性地將傳統(tǒng)的十字相乘法分解因式進(jìn)行了改進(jìn)，具體如下文所述。

3.1傳統(tǒng)的十字相乘法分解因式

傳統(tǒng)的十字相乘法分解因式分為兩個(gè)步驟，“拆”和“寫”。拆，就是將二次三項(xiàng)式中的二次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)拆分成兩數(shù)之積（系數(shù)為整數(shù)），且交叉相乘再相加的結(jié)果等于中間的一次項(xiàng)。

[例題] 用十字相乘法分解因式： m2-9m+20

解：

原式=（ m-4）（ m-5）

解析：

我們先回顧傳統(tǒng)的十字相乘法分解因式的步驟。

步驟①，“拆”：把二次項(xiàng)m2拆成m與m的積，豎著擺放；把常數(shù)項(xiàng)20拆成-4與-5的積，也豎著擺放。確保交叉相乘再相加的結(jié)果等于中間的一次項(xiàng)-9m，即拆分成功。若擺放位置不正確，則交叉相乘再相加的結(jié)果不會(huì)等于中間項(xiàng)。比如第（2）小題，若把1與-2的位置交換一下，則交叉相乘再相加的結(jié)果為x，而不等于原二次三項(xiàng)式的中間項(xiàng)-5x，所以拆分的關(guān)鍵就是確保交叉相乘再相加的結(jié)果等于中間項(xiàng)。

步驟②，“寫”：照著成功拆分之后的位置橫著寫出兩個(gè)多項(xiàng)式，這兩個(gè)多項(xiàng)式的積即為原二次三項(xiàng)式的因式分解的結(jié)果。如第（1）小題，成功拆分之后，橫著寫出（ m-4）與（ m-5）兩個(gè)多項(xiàng)式，它們的乘積即為因式分解的結(jié)果。

3.2改進(jìn)后的十字相乘法分解因式

改進(jìn)后的方法，拆分目標(biāo)與原始的拆分目標(biāo)一致，即交叉相乘再相加的結(jié)果等于中間項(xiàng)。但拆分步驟上有所改進(jìn)，改進(jìn)的方法是把原來的“拆”細(xì)化為“不帶負(fù)號拆”和“添符號”兩步。所以改進(jìn)后的方法就變成了“不帶負(fù)號拆”、“添符號”和“寫”三個(gè)步驟。先以剛才的例題加以說明。

分解因式：m2-9m+20

∴原式=（ m-4）（ m-5）

解析：

步驟①，“不帶負(fù)號拆”：忽視原二次三項(xiàng)式中所有項(xiàng)的負(fù)號，只關(guān)注各系數(shù)的絕對值。拆分的目標(biāo)是使得交叉相乘再相加或者想減的結(jié)果等于不帶負(fù)號的中間項(xiàng)。如上題，不帶負(fù)號的中間項(xiàng)為9m，根據(jù)非常基本的數(shù)據(jù)經(jīng)驗(yàn)，很容易把20拆成4與5的成績，因?yàn)?加5等于9，拆分結(jié)果即為上題①所示。

步驟②，“添符號”：完成步驟①后，把目標(biāo)回歸到“交叉相乘再相加的結(jié)果等于中間項(xiàng)”，上題中的中間項(xiàng)是-9m，與步驟①的結(jié)果相差一個(gè)負(fù)號，所以只需要在原來的4與5前面各添加一個(gè)負(fù)號，這樣既滿足了交叉相乘再相加的結(jié)果等于中間項(xiàng) ，又滿足了-4與-5的積是常數(shù)項(xiàng)20，拆分成功。

步驟③，“寫”：與原始寫法一致。

3.3改進(jìn)前后兩種分解方法的比較

改進(jìn)后的分解方法與傳統(tǒng)的分解方法相比，僅僅是把“拆”的步驟進(jìn)行了細(xì)化，把原來的帶著符號完全拆分分解成了兩個(gè)步驟。而恰恰是這小小的分解動(dòng)作，大大地消除了學(xué)生的恐懼心理，因?yàn)閷W(xué)生可以拋棄“負(fù)號”進(jìn)行拆分，驗(yàn)證的運(yùn)算也是小學(xué)非常熟練的加法、減法和乘法運(yùn)算。只要初步檢驗(yàn)成功，那么完全拆分成功的機(jī)會(huì)就非常大，學(xué)生更容易獲得成功。筆者已經(jīng)用改進(jìn)后的分解方法進(jìn)行了三屆學(xué)生的嘗試，有很多的學(xué)生覺得這個(gè)方法非常好用，非常有趣，非常神奇，幾乎感覺不到類似于傳統(tǒng)分解方法帶給學(xué)生的恐懼和厭惡。這足以說明改進(jìn)的十字相乘法分解因式是有價(jià)值的，是值得推廣的。

四、“反思學(xué)生的困難，開發(fā)課程資源”之展望

“反思學(xué)生的困難，開發(fā)課程資源”是一種為了解決學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的困難而進(jìn)行教學(xué)反思，同時(shí)把反思結(jié)果作為一種新的課程資源的課程資源開發(fā)模式。這種資源開放模式是容易實(shí)施的。它不需要大量的人員在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成資源開發(fā)工作，它只需要我們老師在平常的教學(xué)中多一點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的反應(yīng)，多一點(diǎn)重視學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的困難，有一顆為學(xué)生排憂解難的真誠的心，多一些反思，多一些嘗試，我們每一位普通教師都能參與到這項(xiàng)工作中來。這種模式開發(fā)出來的教學(xué)資源是寶貴的，是值有教育價(jià)值的。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到了困難，就說明已有的教學(xué)內(nèi)容或者方法可能存在某種不足，需要變革。老師們帶著學(xué)生的困難去反思教學(xué)，最終探索出來的教學(xué)資源，自然是非常寶貴的，是能夠適應(yīng)當(dāng)代學(xué)生的發(fā)展的教學(xué)資源。這種開放課程資源的模式是可持續(xù)的。時(shí)代在發(fā)展，人類在進(jìn)步，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中遇到的困難也會(huì)隨著時(shí)代的變化而變化。所以，我們要與時(shí)俱進(jìn)，密切地關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的新困難并進(jìn)行反思，及時(shí)地探索出能幫助學(xué)生解決困難的新的教學(xué)資源。綜上所述，“反思學(xué)生的困難，開發(fā)課程資源”模式是可操作的，是值得推廣的，它是能夠幫助我們提高教學(xué)質(zhì)量的。

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