反思學生的困難，開發數學課程資源

反思學生的困難，開發數學課程資源

（ 江西省全南縣第二中學 341800）

摘 要：本文從一個全新角度探討中學數學課程資源的開發方式，提出以學生困難為課程資源開發的有效突破口。文中論述了課程資源開發的必要性，強調反思是課程開發的重要途徑，舉例說明了在十字相乘法教學和用方程計算三角形內角教學中如何通過反思方式開發數學課程資源。文中所提出反思方式具備可操作性，能夠幫助提高數學教學質量，值得推廣。

關鍵詞：數學課程資源；反思；數學資源開發

一、課程資源開發的必要性

1.課程資源的開發是有效教學的重要組成部分

有效教學首先需要有基本的時間和空間的保障，比如基本的安全而必需的場地、設施、設備、物資、資料等。沒有物質資源的前提條件，就無所謂有效教學。

從課程資源的視角來看，有效教學就意味著“為學生提供豐富而有價值的課程資源”。我們的教材一般由出版社提供，但無論出版社所提供的教材和教輔資料如何“完美”和“精致”，教師仍然需要對這些教材進行加工和改造。教師有責任通過對教材的“再度開發”來保證學生所接觸的教材是“安全”而有教育意義的。

所以說，課程資源的開發是有效教學的重要組成部分。

2.課程資源開發是“有效教師”的基本要求

什么是“有效教師”？可以有多種談論方式，也可以提出多種標準和期望。從有效教學的基本方向尤其是“隱形學習”、“體驗學習”和“熱情求知”來看，真正的“有效教師”至少應該是一個課程資源的開發者。教師的基本使命是為學生的體驗學習提供足夠而有教育價值的課程資源。

二、反思是課程資源開發的有效途徑

杜威認為，“反思”是一種特殊的思維方式，發生于某種直接經驗情境中的疑問、窘迫，由此引起有目的的探究問題解決。它憑借過去經驗中觀察到的現象做出推理，這些推理經過檢驗并作為后來行動的依據。

受杜威的影響，美國麻省理工學院的蕭恩在1983年發表了《反思性實踐者》一書，暢談“反思性實踐”和“反思性行動”；1987年又專門發表了《指導反思性教師》一書，反思教學于是漸漸成為教學研究領域關注的熱點問題之一。

蕭恩的“在行動中反思”主要是指學生在教師的幫助下“做中學”。這與杜威的想法大體是一致的。在《反思性實踐者》一書中蕭恩反復強調：任何課題化情境總是“復雜的”、“不確定的”、“不穩定的”、“獨特的”、和“價值沖突的”。因為這個復雜的、不確定的、不穩定的、獨特的和價值沖突的情境存在于任何已經產生的理論和技術之外，實踐者就不能將它作為一個工具性問題并指望應用他的頭腦里儲存好的專業知識來解決它。這個情境并不“在書中”，如果他期望有效地處理，他就不得不在自己的行動中用自己設計的情境化策略嘗試性地解決它。

教師是否能夠成為課程資源的開發者，關鍵取決于教師是否能夠由“經驗教學”轉向“反思教學”，是否能夠由“經驗教師”走向“反思教師”或者“反思性實踐者”。教師只有成為“反思性實踐者”，不斷反思自己的教學行為和行為背后的教學理念，才能不斷開發和生成有價值的課程資源，實現有效教學。

三、反思學生的困難，開發課程資源

正如蕭恩所強調的，“任何復雜的、不確定的、不穩定的、獨特的和價值沖突的情境存在于任何已經產生的理論和技術之外，實踐者就不能將它作為一個工具性問題并指望應用他的頭腦里儲存好的專業知識來解決它。”在我們的數學教學中，就能經常遇到用已有理論和經驗難以解決或者不便解決的情境，學生在此情境之下往往表現出困惑或者畏懼情緒。每當遇到這種情形時，我們老師首先要重視學生的困難，向學生了解困難的根源，然后反思自己的教學，積極探索（可獨立探索，也可團隊探索）出一個能盡量消除學生困難的教學內容或方法。當我們新探索出來的教學內容或者方法受到學生歡迎時，這種變革式的教學內容或者方法就可以轉化為我們寶貴的課程資源。這就是所謂的反思學生的困難，開發課程資源。

【案例1】用方程思想尋找角與角之間的關系

1.發現學生的困難

在七年級學生學習了三角形和角平分線的知識之后，經常會遇到一種尋找角與角之間關系的問題，令學生感到困難。例如：

如圖所示，在 中， 的內角平分線或外角平分線交于點P， 試探求下列各圖中 與 的關系.

2.反思學生的困難

為什么學生會對這類問題感到困難呢？經過查看學生的解答過程，筆者發現學生主要存在兩方面的問題。第一是不會建立數學模型；第二是角的表達效果不好，不便于發現角與角之間的關系。針對這兩個問題，筆者經過深刻的反思，總結出了易于被學生接受的解決辦法：用方程思想解決這類問題。首先，將相等的角用同一個未知數表示（設元）；其次，通過圖形建立起已設未知數和目標角之間的關系式（列方程）；最后，聯立方程消去未知數（消元），產生只留有目標角的關系式，化簡之后即可得到問題的解。

3.開發課程資源，解決學生的困難

解決問題的辦法想到了，現在需要給學生搭建一個學習的平臺，即開發課程資源。經過搜集各類資料，整理了一些比較典型的題目供學生學習。

【案例2】十字相乘法分解因式

1.發現學生的困難

用過傳統十字相乘法分解因式教學的老師都會有相同的一種感覺，學生初學時會感到非常困難。一個班只有少部分數學素質較高的學生能夠接受這種方法，中等及以下的學生都會覺得這種嘗試性的分解因式方法過于復雜，不方便，從而對“十字相乘法分解因式”產生恐懼或者厭惡情緒。面對傳統的分解方法，面對這種方法帶來的教學效果，我們是否可以進行反思一下，怎樣教才能消除學生初學時的恐懼心理，怎樣教才能讓學生喜歡上這種分解方法呢？

2.反思學生的困難

為了消除學生的恐懼心理，我們需要向學生了解情況，為什么會覺得十字相乘法分解因式繁瑣呢？原來，學生討厭分解過程中多次嘗試性地拆分，在每一次的分解過程中，他們都要經過多次地嘗試才能把二次項和常數項成功拆分，甚至嘗試了很長時間都不能成功拆分。這種結果是學生不愿意看到的，學生覺得這樣的付出和收獲太不對等，所以他們不喜歡。

有沒有什么方法能夠減少嘗試次數，讓“十字相乘法分解因式”顯得簡單呢？帶著這個問題，筆者進行了思考與探索，最終發現了學生的困難根本所在：負號。大凡學生分解失敗的二次三項式，都是最少一項帶有負號。

3.開發課程資源，解決學生的困難

找到了困難之源，自然就可以摸索出解困之法。針對學生的這個困難，筆者嘗試性地將傳統的十字相乘法分解因式進行了改進，具體如下文所述。

3.1傳統的十字相乘法分解因式

傳統的十字相乘法分解因式分為兩個步驟，“拆”和“寫”。拆，就是將二次三項式中的二次項和常數項拆分成兩數之積（系數為整數），且交叉相乘再相加的結果等于中間的一次項。

[例題] 用十字相乘法分解因式： m2-9m+20

解：

原式=（ m-4）（ m-5）

解析：

我們先回顧傳統的十字相乘法分解因式的步驟。

步驟①，“拆”：把二次項m2拆成m與m的積，豎著擺放；把常數項20拆成-4與-5的積，也豎著擺放。確保交叉相乘再相加的結果等于中間的一次項-9m，即拆分成功。若擺放位置不正確，則交叉相乘再相加的結果不會等于中間項。比如第（2）小題，若把1與-2的位置交換一下，則交叉相乘再相加的結果為x，而不等于原二次三項式的中間項-5x，所以拆分的關鍵就是確保交叉相乘再相加的結果等于中間項。

步驟②，“寫”：照著成功拆分之后的位置橫著寫出兩個多項式，這兩個多項式的積即為原二次三項式的因式分解的結果。如第（1）小題，成功拆分之后，橫著寫出（ m-4）與（ m-5）兩個多項式，它們的乘積即為因式分解的結果。

3.2改進后的十字相乘法分解因式

改進后的方法，拆分目標與原始的拆分目標一致，即交叉相乘再相加的結果等于中間項。但拆分步驟上有所改進，改進的方法是把原來的“拆”細化為“不帶負號拆”和“添符號”兩步。所以改進后的方法就變成了“不帶負號拆”、“添符號”和“寫”三個步驟。先以剛才的例題加以說明。

分解因式：m2-9m+20

∴原式=（ m-4）（ m-5）

解析：

步驟①，“不帶負號拆”：忽視原二次三項式中所有項的負號，只關注各系數的絕對值。拆分的目標是使得交叉相乘再相加或者想減的結果等于不帶負號的中間項。如上題，不帶負號的中間項為9m，根據非?；镜臄祿涷?，很容易把20拆成4與5的成績，因為4加5等于9，拆分結果即為上題①所示。

步驟②，“添符號”：完成步驟①后，把目標回歸到“交叉相乘再相加的結果等于中間項”，上題中的中間項是-9m，與步驟①的結果相差一個負號，所以只需要在原來的4與5前面各添加一個負號，這樣既滿足了交叉相乘再相加的結果等于中間項 ，又滿足了-4與-5的積是常數項20，拆分成功。

步驟③，“寫”：與原始寫法一致。

3.3改進前后兩種分解方法的比較

改進后的分解方法與傳統的分解方法相比，僅僅是把“拆”的步驟進行了細化，把原來的帶著符號完全拆分分解成了兩個步驟。而恰恰是這小小的分解動作，大大地消除了學生的恐懼心理，因為學生可以拋棄“負號”進行拆分，驗證的運算也是小學非常熟練的加法、減法和乘法運算。只要初步檢驗成功，那么完全拆分成功的機會就非常大，學生更容易獲得成功。筆者已經用改進后的分解方法進行了三屆學生的嘗試，有很多的學生覺得這個方法非常好用，非常有趣，非常神奇，幾乎感覺不到類似于傳統分解方法帶給學生的恐懼和厭惡。這足以說明改進的十字相乘法分解因式是有價值的，是值得推廣的。

四、“反思學生的困難，開發課程資源”之展望

“反思學生的困難，開發課程資源”是一種為了解決學生在學習過程中遇到的困難而進行教學反思，同時把反思結果作為一種新的課程資源的課程資源開發模式。這種資源開放模式是容易實施的。它不需要大量的人員在規定的時間內完成資源開發工作，它只需要我們老師在平常的教學中多一點關注學生的反應，多一點重視學生在學習過程中遇到的困難，有一顆為學生排憂解難的真誠的心，多一些反思，多一些嘗試，我們每一位普通教師都能參與到這項工作中來。這種模式開發出來的教學資源是寶貴的，是值有教育價值的。學生在學習過程中遇到了困難，就說明已有的教學內容或者方法可能存在某種不足，需要變革。老師們帶著學生的困難去反思教學，最終探索出來的教學資源，自然是非常寶貴的，是能夠適應當代學生的發展的教學資源。這種開放課程資源的模式是可持續的。時代在發展，人類在進步，學生在學習過程中遇到的困難也會隨著時代的變化而變化。所以，我們要與時俱進，密切地關注學生的學習狀況，善于發現學生在學習過程中產生的新困難并進行反思，及時地探索出能幫助學生解決困難的新的教學資源。綜上所述，“反思學生的困難，開發課程資源”模式是可操作的，是值得推廣的，它是能夠幫助我們提高教學質量的。

參考文獻：

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