例談函數(shù)零點問題處理的幾種方法

函數(shù)零點問題往往以選擇、填空題形式出現(xiàn)在近幾年的高考試題中，該問題主要考查函數(shù)與方程的關(guān)系，要求學(xué)生能夠運用分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想來解決函數(shù)的零點分布或個數(shù)問題，該文從以下幾個方法來探討處理函數(shù)零點問題的策略。

方法一、直接法

人教數(shù)學(xué)必修1在函數(shù)零點這一節(jié)中：“方程 有實數(shù)根 函數(shù) 的圖像與 軸有交點 函數(shù) 有零點?！庇纱丝芍?，求函數(shù) 的零點，就是直接求方程 的實數(shù)根。

例1. （2010年福建卷理4）函數(shù) 的零點個數(shù)為 （ ）A.0 B.1 C.2 D.3

解：當(dāng) 時，令 解得 ；當(dāng) 時，令 解得 ，所以已知函數(shù)有兩個零點，選C。

備注：利用直接法求函數(shù)零點，前提是函數(shù)的零點，即方程 的實數(shù)根，是我們能夠用代數(shù)方法求解的，往往是我們所熟悉的一次、二次、對數(shù)、指數(shù)等一些初等函數(shù)所對應(yīng)的方程。

方法二、定理法

人教數(shù)學(xué)必修1中的零點存在定理：如果函數(shù) 在區(qū)間 上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 ，那么，函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)有零點，即存在 ，使得 ，這個 也就是方程 的根，也就是函數(shù)的零點。零點存在定理告訴我們，如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值異號，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一根（奇數(shù)個根）。

例2.（2010年高考天津卷理科2）函數(shù) 的零點所在的一個區(qū)間是（） A.（-2，-1）B.（-1，0） C.（0，1） D.（1，2）

解：因為 ， ，所以選B。

例3.“ ”是“函數(shù) 有零點”的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

解：若 ，不妨設(shè) 則當(dāng) 時，有 ；當(dāng) 時，有 。將零點存在定理拓展的非正常區(qū)間，有 ，故函數(shù)在 必有一根。反之，顯然不成立，若 ，函數(shù)可能退化為二次或一次函數(shù)，仍然可能有根，故選A

備注：零點存在定理雖然是判斷零點存在的一個充分條件，但是卻定量的刻畫了函數(shù)零點所在區(qū)間，尤其在引入二分法后，用逼近的思想，可以將函數(shù)的零點定位在一個長度充分小的區(qū)間內(nèi)。

三、圖像法

函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要概念，它們之間有著密切的聯(lián)系，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，很多函數(shù)的問題需要用方程的知識和方法來支持，同時很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法來解決。譬如對于函數(shù) 零點的問題可以轉(zhuǎn)換為 與 的交點問題。

例4.（2011年高考陜西卷理科6）函數(shù) 在 內(nèi)（ ） （A）沒有零點 （B）有且僅有一個零點

（C）有且僅有兩一個零點 （D）有無窮個零點

解：令 ， 作出兩個函數(shù)圖像，如圖。

備注：函數(shù) 零點的問題可以轉(zhuǎn)換為 與 的交點問題時，能夠直觀地判斷函數(shù) 零點的個數(shù)，甚至零點所在的區(qū)間（若再結(jié)合二分法，可以將零點所在區(qū)間更加細(xì)化）。

四、導(dǎo)數(shù)法

當(dāng)我們碰到一類非初等函數(shù)時，前面的方法不能夠解決時，就需要用導(dǎo)數(shù)。通過導(dǎo)數(shù)，我們可以直接獲得函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，比如極值與最值，再結(jié)合單調(diào)性，直接判斷零點的個數(shù)或分布。

例5.2009天津卷4設(shè)函數(shù) 則 （ ）

A.在區(qū)間 內(nèi)均有零點

B.在區(qū)間 內(nèi)均無零點。

C.在區(qū)間 內(nèi)有零點，在區(qū)間 內(nèi)無零點

D.在區(qū)間 內(nèi)無零點，在區(qū)間 內(nèi)有零點

解：由題得 ，令 得 ；令 得 ； 得 ，故知函數(shù) 在區(qū)間 上為減函數(shù)，在區(qū)間 為增函數(shù)，在點 處有極小值 ；又 ，故選擇D。

備注：求函數(shù)零點一般不用導(dǎo)數(shù)，但是一旦用到導(dǎo)數(shù)，卻比較踏實，因為導(dǎo)數(shù)能夠從整體上把握函數(shù)的性質(zhì)，從函數(shù)在區(qū)間上極值的正負(fù)，該文原載于中國社會科學(xué)院文獻(xiàn)信息中心主辦的《環(huán)球市場信息導(dǎo)報》雜志http：//www.ems86.com總第528期2013年第47期-----轉(zhuǎn)載須注名來源就能夠判斷函數(shù)在對于區(qū)間上的零點。

五、換元法

例6.（2011學(xué)年第二學(xué)期寧波十校聯(lián)考10改編題）已知函數(shù) ，若函數(shù) （ ）有六個不同的零點，則 的取值范圍是（ ） A. B. C. D.

解：原問題 圖像與 圖像有六個不同的交點，由于 為復(fù)合函數(shù)，故采用換元令 ，則 。故問題 與 在 時有三個不同的交點。

備注：換元法要注意換元前后的范圍，本題中的 在換元后，注意到 ，對應(yīng)的函數(shù)圖像應(yīng)該是 的一段。

六、綜合法

當(dāng)函數(shù)的零點問題看似無從入手，前面的方法不能直接實施時，我們就要用函數(shù)與方程，通過分離函數(shù)或參變分離，借助導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)圖像之間的聯(lián)系。

例7. （瑞安中學(xué)2011學(xué)年第一學(xué)期高三期末17改編題）已知函數(shù) 在定義域上有兩個不同的零點，則 的取值范圍為 。

法一：運用函數(shù)與方程思想，轉(zhuǎn)換為 與 有2個不同交點，即圖像法。

由于 圖像過原點，（顯然 ，否則僅有一個交點）

作出兩者函數(shù)圖像，如圖

只需研究過原點的直線與 相切，即可找到臨界點

設(shè)切點A ，根據(jù)方程 ，解出 ，即切點A

由圖像可知， 的斜率 ，解出 。

法二：參變分離轉(zhuǎn)化為 圖像與 圖像有2個交點，而 是一條平行于 軸的直線，對 進(jìn)行求導(dǎo)，得到 ，則當(dāng) ，有 ；當(dāng) ，有 。故 在 為減函數(shù)，在 為增函數(shù)。根據(jù)洛必達(dá)（L'Hospital）法則，有 ，可知 以 軸為漸近線如圖

備注：綜合法求解函數(shù)零點，起點要求比較高，要能夠熟練運用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想。

高考試題中函數(shù)零點問題的呈現(xiàn)，多種多樣，有些與函數(shù)的周期性，單調(diào)性等性質(zhì)相整合，有些是間接地求方程根或函數(shù)零點，但是借助函數(shù)與方程思想，可以實現(xiàn)由由數(shù)到形，或由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到零點問題的解決。

（作者單位：寧波市鄞州區(qū)同濟(jì)中學(xué)數(shù)學(xué)組）