談三角函數的誘導公式教學重點難點的突破

【摘 要】三角函數的誘導公式所包含的公式非常多，學生也容易把這些公式混亂，歸根到底都是沒有對這些公式進行深入的分析和理解。而加深對公式的理解的最重要方式就是理解并學會公式的推導過程，掌握了推導過程，才能全面深入地理解公式并運用好公式。公式的推導常常是教學中的重點和難點，本文圍繞如何推導出三角函數的誘導公式來談談在教學中的實踐。

【關鍵詞】高中數學；課堂教學；三角函數；誘導公式

三角函數的誘導公式是利用對稱性來探究角的終邊分別關于原點或坐標軸對稱的角的三角函數值之間的關系，三角函數誘導公式的運用體現“數形結合”的數學思想，常用的方法就是把任意角的三角函數值問題轉化為求銳角的三角函數值，誘導公式的學習不但體現了數學的轉化思想，還反映了知識的學習是從特殊到一般的思維模式，對培養學生的創新意識、發展學生的思維能力也起到了非常重要的作用。

學習這節課，重點就是要讓學生們對誘導公式進行探究，借助單位圓來推導出誘導公式，并學會運用誘導公式進行簡單三角函數式的求值，難點就是發現圓的對稱性與任意角終邊的坐標之間的聯系以及合理運用誘導公式。下面是我對三角函數的誘導公式的探究和學習過程中的一些方法，旨在通過引導探究的方式，讓學生們能夠掌握公式的推導方式以及學會對公式進行簡單的運用，達成教學目標，突破重點難點。課堂過程主要是采用探究的方式進行的。教師設置一定的情境，組織相應的探究活動來引導學生們進行公式的探究并學會簡單的運用。探究的過程主要有以下幾步：

一、明確課堂目標

這一步是要讓學生們明確這節課的學習目的，讓學生們明確這節課所要學習和探究的究竟是什么。教師可以準備活動如：1.思考并寫出sin， cos， tan的三角函數值，給學生一定的思考時間，可以請兩位學生到黑板上寫出解答結果，并讓學生們口述三角函數的單位圓定義：sin=y，cos=x，tan= （x≠0），三角函數的定義是學習誘導公式的基礎，幫助學生們回憶和復習可以更好地聯系新知識的學習。在這個過程中，針對學生們的疑惑，抓住學生們在解三角函數值的時候產生的認知沖突，明確這節課的學習主題和學習目標。為學生們設置這樣的情境，可以讓學生們引發思考，產生認知沖突，要解決這樣的認知沖突就一定程度上調動了學生們學習和探究的積極性，為上好新課做好了準備。

二、組織探究過程

返回剛才的例子，并評價學生們在黑板上的完成情況，根據學生們利用定義求角的三角函數值的過程，引導學生們思考角與的終邊有什么關系。學生們經過思考以及畫圖，發現這兩個角在數量上是相差π，在坐標系中這兩個角的終邊在同一條直線上，并且關于原點對稱。

再把這兩個角放在坐標中的單位圓上來考慮，設角與的終邊分別交單位圓于點P1、P2，點P1的坐標為P1（x，y） ，讓學生思考，點 P2的坐標如何表示？學生們可以根據兩點關于原點對稱的的位置關系來得出P2 的坐標為（-x，-y）。再進一步概括得出，終邊與單位圓的交點坐標相反數。教師再引導學生們概括出有這樣的數量關系的兩個角的三角函數值會有什么關系。讓學生觀察動畫演示，概括出任意角α與角π+α的終邊關于原點對稱，三角函數值滿足公式sin（π+α）=-sinα，學生通過教師的引導用正確的方法進行探究和學習，并共同得出結論。再根據特殊角到一般角的變化，歸納出公式二：sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）= tanα。

通過以上公式的探究過程，教師引導學生們總結出探究的方法和思路，再讓學生們根據方法的指導自主探究其他的公式。首先可以引導學生們回顧剛才的探究過程并概括出來。通過這樣的方法和思維的概括，為學生的自主探究指明了方向。接下來可以給出如下的探究任務：給定一個角α，探究角π-α和角α的終邊有什么關系？角-α和角α的終邊有什么關系？它們的三角函數之間有什么關系？組織學生們進行自主探究與討論、合作交流等方式進行學習。通過使用正確的方法進行探究，最終得出公式三和公式四。在探索與合作交流的過程中，不但提高了學生自主學習的能力，還加強了他們的合作交流能力。

三、公式的運用

公式的運用是建立在對公式的正確理解的基礎上的。為加強學生們對公式的理解和掌握以及檢查學生們對公式的運用能力，教師可以設置一些練習來提高學生們運用知識的能力，但這節課主要的目的是讓學生們掌握公式的推導過程和方法，公式的運用并不是重點。因此，在設置練習的時候，不要太難，只給一些簡單的基礎的練習即可。讓學生們自己在草稿紙上解答，也可以讓個別學生到黑板上去寫，再組織學生一起進行評講。讓學生們進一步體會和明確用誘導公式將任意角的三角函數化為銳角的三角函數的一般步驟：任意負角的三角函數→任意正角的三角函數→0～2π的三角函數→銳角的三角函數。通過公式的實際運用及方法的鞏固，進一步加強學生們對公式的理解和掌握。

四、小結

這節課的內容是公式的學習，重點和難點都是公式的推導過程，學生既要能夠理解，也要能夠學會這種公式推導過程中所運用的一般思路和一般方法。公式的推導本身就是一個探究的過程，因此，采用探究的方式進行教學是一種不錯的方法。值得注意的是，如果教師在探究的過程中指導過多，那也達不到鍛煉學生的效果，如果完全放手讓學生自主探究，又容易因方法不正確而浪費課堂時間。最好的方式就是教師先帶領引導學生進行探究，讓學生們體驗并感悟到探究的思路和方法，再讓學生進行自主的探究，相信這樣一定可以取得很好的課堂效果，突破教學的重點和難點。

【參考文獻】

[1]雷曉莉，三角函數的誘導公式，中小學數學：高中版，2012年7期

[2]萬錕，“正弦、余弦的誘導公式”教學反思，當代教育，2012年2期

[3]魯鋒武，三角函數的概念與誘導公式，考試.高考數學版，2012年6期

（作者單位：江蘇省海門實驗學校）