“解”題須“簡”題

【摘 要】2011新版課標對學生要求從“雙基”變“四基”，除了關注學生的雙基落實，更提出在積累數學基本活動經驗的同時，領悟數學基本思想。縱觀課堂，教師往往重視知識的落實和基本技能的訓練，卻忽視了化歸數學思想的滲透，對思想方法缺乏必要引導，導致學生思維能力得不到真正的提高。本文試圖用例談的形式來揭示引導領悟的實踐過程及基本策略，以期讓學生習得“革故鼎新，化繁為簡”、“數形結合，化難為易”、“類比轉換，化生為熟”、“分層擊破，化整為零”等基本操作路徑，更新觀念，重視新版課標的導向，挖掘教材，讓學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等過程，領悟基本的化歸數學思想。

【關鍵詞】化歸思想；化繁為簡；化難為易；化生為熟；化整為零

2011年國家出臺的新版義務教育課程標準，相比2001年版，明顯的變化是對學生要求從“雙基”變“四基”，在掌握數學基礎知識、訓練數學基本技能這“兩基”的基礎上，增加了積累數學基本活動經驗，領悟數學基本思想，數學思想是數學知識的精髓，是分析、解決數學問題的基本原則，也是數學素養的的重要內涵，它是培養學生良好思維品質的催化劑。其中化歸的思想是重要的數學基本思想之一，它就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。

縱觀我們小學教材，已萌芽著化歸思想，成為教材的靈魂，在課堂中，教師們往往重視數學知識的落實和基本技能的訓練，卻忽視了化歸數學思想的滲透，對數學的思想方法缺乏必要的引導，導致學生數學思維能力得不到真正的提高。尷尬的現狀迫使我們教師要更新觀念，重視新版課標的導向，應該努力挖掘教材中可以進行化歸數學思想滲透的各種因素，恰當地讓學生觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等過程，領悟基本的化歸數學思想。

一、革故鼎新，化繁為簡——得來全不費工夫

匈牙利數學家路莎·彼得所說：“數學家們也往往不是對問題進行正面的攻擊，而是將它不斷變形，直到把它轉化成能夠解決的問題。”

革故鼎新就是改變方式，把復雜的問題轉化為簡單的問題，把復雜的形式轉化為簡單的形式，把高階的降為低階，把高維的降到低維，使其中蘊涵的數量關系和空間形式更加具體，從而找到問題的解決辦法。復雜問題簡單化是數學問題中運用最普遍的思想方法。一個難以直接解決的問題通過對問題深入觀察和研究，轉化成簡單的問題迅速求解。

【聚焦鏡頭1】

教學內容：97+98+99+100+101+102+103=？

師：同學們，這算式得數是多少？你是怎么算出的？

生：得數是700，按順序一個一個加起來。

生：得數也是700，我是將97的103加，98和102加，99和101加，這樣就有6個100，再加上中間的100，就是7個100。

師：比較一下這兩種方法，你喜歡哪種方法？

生：第二種，因為第二種簡單。

師：簡單在哪里？

生：第二種方法，把加法轉換為乘法，只要數準個數就能算出得數，簡單又準確。

師：如果將上面的算式再接著連續加上5個數，還能用乘法算嗎？

生：也能，將97和108相加得205，這樣的得數有6個，205×6=1230。

師：做了兩道題，有什么收獲想與大家說說嗎？

生：有規律的加法算式可以用乘法來計算。

生：這樣算起來容易又不出錯。

【分析】這位老師讓學生親歷算法實踐中發現解題捷徑，以學生原有的知識經驗為基點，并在引導比較中讓學生明白變換形式能化繁為簡，從而提高學生的知識水平，提升數學舉一反三的能力。通過這樣對內在算式意義的理解，特別是在以后加法進行簡便計算時，學生就會善于從整體上把握結合律的特點，只要將局部的個別數加以變化就能簡便計算。改變形式，化繁為簡的化歸思想在樸素的實踐中領悟。

【聚焦鏡頭2】

求這個圖形的周長是多少？

解：長方形周長=（長+寬）×2

（20+16）×2=62（厘米）

【分析】大多數學生看到這類題目，會先去計算出每一條邊長，再把6條邊相加求出周長。顯而易見，這種解法算出的結果是正確的，但是過程相當繁瑣。反之，我們可以引導學生把圖形進行變形：把長6厘米的邊長往上移，5厘米的邊長往右移，轉變成一個長方形，這樣，就變成了計算長方形的周長，非常簡單。

由此可見，解答一些圖形的題目，運用變換思想，將原圖形通過旋轉、平移、翻折、割補等途徑加以“變形”，可使題目變難為易，求解也水到渠成。教學中，我們應不失時機地利用這些圖形變換，進行思想滲透。主要通過現實問題具體化到抽象問題，然后在抽象與具體間建立聯系，從而實現抽象向具體的化歸，同時利用割補、平移等化歸途徑，自主將復雜問題簡單化。繁瑣的算式，復雜的圖形，這樣簡單的轉換就容易操作，真有“得來全不費工夫”之感，這種愉悅的樸素實踐，讓孩子們領悟了解決數學問題可以化繁為簡。

二、數形結合，化難為易——柳暗花明又一村

美國數學家羅斯蒂思說的：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么就整體把握了問題的實質。”

“數形結合百般好，隔裂分家萬是非。”數與形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化。作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致可以分為兩種情況：以數解形和以形助數。新課程教材在各冊都安排了相應的“數學廣角”，既豐富了數學思想方法，又拓展了學生的學習能力，但這類習題靈活多變，如何讓學生把握其內在的關聯？只需運用化歸的方法指導學生理解其共同之處，歸結為熟悉的數學問題，從而破解。我們可以引導學生根據具體題目的意思動手畫圖，通過數形結合，大大開拓解題思路，使問題的解決達到化繁為簡的目的。

【聚焦鏡頭3】小明家、小紅家和學校在同一條直線上，小明從家到學校要走500米，小紅從家到學校要走400米，請問小紅家和小明家可能相距多少米？教師拋出題目后沒有急著講解，先讓學生嘗試探究，再組織交流，在探究過程中，教師提醒不會的學生可以通過線段圖來解決。

答案一：小明家和小紅家相距100米。

思考過程和線段圖如下：小明家和小紅家在學校的同一方向

答案二：小明家和小紅家相距900米。

思考過程和線段圖如下：小明家和小紅家在學校的不同方向

通過畫圖，明顯地展示出了題目三者的關系，并得到了2種不同的可能情況。

解： 1.小明家-小紅家=相距的距離

500-400 =100（米）

2.小明家+小紅家=相距的距離

500+400 =900（米）

【分析】線段圖明了的呈現了可能存在的兩種不同情況，揭示了解決問題的思路，又避免了遺漏。學生親歷嘗試探究的過程領悟數形結合能夠化難為易。如果沒有圖形的幫助，低段學生很難明白為什么會有兩種不同的答案。

為了突破解題策略，就需要仔細閱讀習題，并通過作圖加以聯想，突出數與形的結合，引導學生在學習實踐中，打破思維定勢，架起數形結合的橋梁，由此及彼，通過作畫對比與聯想，從全新的角度分析數量關系，就會找到正確的解題思路。“柳暗花明又一村”的感覺油然而生，化難為易的數學思想在樸素的教學實踐中滲透。

三、類比轉換，化生為熟——似曾相識燕歸來

任何一個生疏的問題，都是由一個個熟悉的基本問題經過變化發展而來的。生問題的解決可以借助熟問題的類比遷移。因此，教師要善于引導學生透過表象看本質，有序地思考，找出問題之間的內在聯系，將一個難題化解為熟悉的基本問題，在這個探索的過程中，學生的解題思路會逐漸清晰，解題方法會更加靈動和豐富。

【聚焦鏡頭4】在一年級上冊的教材中，學生就依次開始學習“1—5的認識和加減法”，“6—10的認識和加減法”，“11—20的認識和加減法”，“20以內的進位加法”。對于一年級的學生來說，學習了1—10的組成之后，學生對于“拆小數，湊大數”和“拆大數，湊小數”已經掌握地非常嫻熟，同時也為“20以內的進位加法”的學習打下了堅實的基礎。在《9加幾》的教學中，老師首先提出9+4=？，在學生積極地動手操作后，創造性地得出多種方法：數數法、接著數、湊十法等，其中“湊十法”就是最重要的方法，老師繼續追問其思考過程：看到9想到1，把4分成1和3，9+1=10，再算10+3=13。“湊十法”通過將大數拆成小數（或者小數拆成大數）和另一個數（大數）湊成十，把20以內的進位加法轉化成簡單的“幾加幾等于十”，“十加幾等于十幾”的計算題。

【分析】在這一過程中，9+4=？這道進位加法題本是新問題，運用爛熟于心的運算經驗，老師將生問題轉換成若干個熟問題，新問題就迎刃而解了。這一引導過程蘊涵了生熟轉換的數學基本思想，學生親歷此過程，不但解決了問題，而且掌握了運用化歸思想解決問題的基本策略，降低難度，提高解題的效率。

類比轉換思想在解決數學問題中的運用相當普遍，轉化的途徑和方法不一定相同，但有一個共同的規律，就是在待解決的問題和已解問題之間架起一個聯系的橋梁。這就要求在學習數學的過程中，引導學生要不斷地構建知識結構，形成知識網絡，要領悟蘊含在數學內容之中的數學思想方法，這些都是提高數學解題能力的條件和基礎。

【聚焦鏡頭5】如應用題：小明家有蘋果5個，蘋果比桔子少21個，問桔子有多少個？

老師出示題目后，嘗試讓學生列式計算，答案各不相同，有的說16個，有的說26個，兩種結論爭執不休。老師說，我們先不要爭論結果是多少，要以理服人就得拿出理由。堅持16的說，題目告訴我們桔子少，應該用減法算。堅持26的學生舉實例說，你今年8歲，比媽媽少24歲，你說媽媽比你還小嗎？全班同學哈哈大笑。老師讓原先主張16的同學說說現在的想法，讀題目不能只看幾個字，應該搞清誰比誰大，千萬不能看字面意思，認為誰離“少”字近誰就“少”，一時讀不懂題目還可以想想生活中熟悉的說法，題意便能準確理解。

【分析】孩子若有所悟的表述，蘊涵的是類比遷移的基本思想，老師不局限于得出結論是什么，引導談談學習體驗是點睛之筆，它談出了解決問題的過程，談出了解決問題的方法與策略，也談出了類比轉換，化生為熟的化歸思想。

類似這種樸素的教學實踐是落實“四基”的積極體現，它讓學生初步懂得解決數學的新問題，可以借助熟悉的老方法來解決，還可以借助熟悉的生活經驗。這種“似曾相識燕歸來”的親近感增進孩子數學學習的成功體驗，進而進一步激發學習興趣，把握化歸的基本思想。

四、分層擊破，化整為零——為有源頭活水來

化整為零，就是把復雜的問題分解成若干個簡單的問題，然后“各個擊破”，從而來使這個復雜的問題簡單化，從而得到解決。特別是在有限的課堂時間內，綜合性強、難度大的題目不能一下子推給學生，學生費時還找不到問題的突破口，但要是設計一系列有層遞性的問題，降低難度，指出思維方向，引導學生思考，這樣對學生來說問題就簡單多了。

【聚焦鏡頭6】編織社編織草帽，原來20人10天生產1000頂草帽。現在增加80人，要生產7500頂草帽，需要多少天才能完成？

這道題中的數據比較多，數量關系也比較復雜，我們可以通過化整為零，把問題分成以下幾個小問題展示給學生，分層擊破。

1.由“原來20人10天生產1000頂草帽”，可以求出：每人每天生產多少頂草帽？1000÷20÷10=5（頂）

2.由“現在增加80人”可以求出：現在有多少人編織草帽？20+80=100（人）

3.現在每天編織多少頂草帽？ 5×l00=500（頂）

4.要編織7500頂草帽需要多少天？ 7500÷500=15（天）

綜合算式為：7500÷[（1000÷20÷10）×（20+80）]=15（天）

【分析】從以上案例看出，“分層擊破，化整為零”的思想方法在數學解題中的運用，不僅可以體現解決問題的整個思維過程，給人以層次分明的感覺，本來看上去是一個比較復雜的問題，通過分解后，教師引導學生把內含的一個個小知識點從中抽取出來，逐個突破，變成了幾個簡單的問題，把這些小問題“分而治之”，從而使整個問題簡單化。其實，形式復雜的數學題，其本質總是存在簡單的一面，引導學生抓住問題的源頭，抽絲剝繭，問題就迎刃而解。“問渠哪得清如許，為有源頭活水來。”化整為零的化歸思想在同類型題目的歷練中形成。

化繁為簡，化難為易，化生為熟，化整為零是數學化歸思想的基本呈現形式，“化歸”在小學生數學學習過程中具有重要作用，它不僅傳遞一種數學思想，還可以啟迪心靈、激發靈感、充滿著人類的智慧。教師在樸素的教學實踐中善于滲透化歸思想，有針對性地依托教材，引導學生領悟化歸的方法，有利于發展學生的數學思維，有利于挖掘學生的潛能，有利于培養學生獨立探究、正確解題的能力。新版課標從“兩基”到“四基”改變的現實意義在此得以彰顯。