蛙跳算法在暫態穩定性計算中的應用

摘 要：電力系統暫態穩定性分析是解決電力系統穩定問題的基礎。數值積分方法是進行電力系統暫態穩定性分析的一類基本和比較可靠的方法。如何實現暫態穩定性的實時和超實時分析計算，是現代大規模電網實時分析與控制研究的重要課題。文章提出的蛙跳算法易于執行，與同階的傳統RK法相比，其計算過程更為簡捷。

關鍵詞：暫態穩定性分析；數值積分方法；蛙跳算法

1 蛙跳算法簡介[1][2]

如果Hamilton系統可以寫成如下的形式：

（1）

那么稱該系統是一個可分的Hamilton系統，微分方程組（1）寫成如下形式：

（2）

即

（3）

對于形如式（3）的Hamilton系統，Neri已經提出了一類比較好的構造辛差分格式的方法。該方法非常簡單易懂，但實際推導非常復雜，在構造6階辛差分格式時，就幾乎不可能實現了，至少難度很大。針對以上問題，Haruo Yoshida提出了一種構造高階顯式辛差分格式的方法。

令

Hamilton系統方程如下： （4）

定義微分算子DG如下：

則Hamilton系統方程（4）可以寫成：

（5）

在t=？子時，式（5）的精確解為

（6）

又因為

（7）

我們可以將式（6）寫成

（8）

如果存在實數ci，di，i=1，2，…，k使得

（9）

令近似解為

（10）

那么 （11）

那么近似解（10）具有 階精度，且式（10）中的exp（ci？子DT）、exp（di？子DV）均為辛變換，這樣就得到一個n階辛差分格式（10）

可分Hamilton系統n階顯式辛格式的數學表達式如下：

（12）

要想構造可分Hamilton系統的顯式辛格式，關鍵在于確定系數ci，di，i=1，2，…，n的值，Haruo Yoshida已經給出了確定系數的方法。下面給出1～4階顯式辛格式的系數。

令

當n=1時，有 c=1，d=1

當n=2時，有

或

當n=3時，有

或

當n=4時，有

或

其中

上述顯式辛算法易于執行，與同階的傳統RK法相比，其計算過程更為簡捷，但此方法僅適合于可分系統。

2 蛙跳算法的暫態穩定計算公式研究[3][4][5][6]

若發電機采用經典模型，負荷采用恒阻抗表示，采取簡化處理后，便可作出全系統的等值電路，這將是一個多電勢源的線性網絡.此線性網絡的導納型節點方程為

（13）

式中， 是各發電機輸出電流的列向量；

是各發電機電勢的列向量。

YG是僅保留發電機電勢源節點和參考節點，而其他節點經過網絡變換全部消去后的等值網絡的節點導納矩陣，YG可由潮流計算用的節點導納矩陣修改后得到。

在潮流計算中是以發電機端點作為發電機節點。現在應在每一臺發電機節點i后面，通過發電機內阻抗ZGi支路，增加一個電勢源節點i'，其注入電流IGi等于原來發電機節點的注入電流，而原發電機節點i的注入電流則等于零。接入ZGi和增加節點i'后，應對原潮流計算用的節點導納矩陣進行修改，發電機有幾臺，修改后的導納矩陣將增加幾階。

對于負荷節點，當負荷用恒定阻抗表示時，可在負荷節點并聯接入負荷的等值阻抗，并令原負荷節點注入電流■k=0。由于負荷阻抗是并聯接在負荷節點與參考點之間的，所以網絡的節點數不增加，但導納矩陣的負荷節點的自導納應變為Y'kk=Ykk+YLk。

如果原網絡有N個節點，其中發電機節點有n個，則作了上述修改后的導納矩陣將有N+n階。若對節點重新編號，把發電機電勢源節點編為1，2，…，n號，則其余n+1，n+2，…，n+N號節點都成了無注入電流的節點。將修改后的導納矩陣分塊，節點方程可寫成：

（14）

根據方程式消元的方法，將上式展開，消去VN，即可求得（13），其中

（15）

將式（13）代入到發電機功率算式■Gi=PGi+JQGi=■GiI*Gi中，經整理后可得

（16）

式中

（17）

系統中每一臺發電機的搖擺方程可寫成如下形式：

（18）

式中Pei為每臺發電機的電磁功率，即式（16）中的PGi，將式（16）和式（17）代入上式，可將發電機搖擺方程寫成如下的可分形式：

（19）

式中

其中Mi為第i臺發電機的慣性時間常數；Pmi為第i臺發電機的機械功率；Gij為收縮導納矩陣的電導；Bij為收縮導納矩陣的電納；Ei為第i臺發電機的暫態電動勢。

若系統中有m臺發電機，記

其中

則發電機搖擺方程可寫成

（20）

由式（3）和（12）可知，若令？啄=p，？棕=q，則可以得到基于顯辛蛙跳算法的暫態穩定性計算公式：

（21）

其中？啄k、？棕k分別為tk時刻的？啄、？棕。

3 算例結果與分析

算例采用IEEE 145節點系統，發電機采用經典模型。故障設定為在7號母線處發生三相短路，經0.1秒后切除故障，整體積分時間為1.50秒。104號母線與7號母線距離最近，因此本文中主要是分析比較104號母線上的發電機誤差曲線。數值計算中以步長取h=0.001s時的計算結果為基準（由于積分步長很小，不同算法的計算結果都很精確），跟蹤觀察誤差曲線。

4 結束語

蛙跳算法易于執行，與同階的傳統RK法相比，其計算過程更為簡捷。顯辛蛙跳算法的計算精度比同階傳統RK法高很多，數值穩定性也更好。從圖1圖2可以看出，當h=0.12時，傳統RK法計算結果完全偏離正確結果，而此時蛙跳算法計算結果能與精確值吻合。由此可見，蛙跳算法是一種比較適合于電力系統暫態穩定性計算的新方法。

蛙跳算法要求系統是可分的，而只有在發電機為經典模型的情況下系統才是可分的。如果只考慮第一搖擺周期的暫態穩定性，可以采用發電機經典模型，因此，該算法適合于第一搖擺周期的暫態穩定性計算。

參考文獻

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