小提琴演奏的基本數學模型

在小提琴的和弦演奏中，涉及兩個手指的同時換把問題，其主要困難是兩個手指同時移動的距離不一樣。對此，以往的文獻是作語言上的邏輯描術，如稍近、稍遠；靠近、離開等。本文旨在將這些邏輯描述用十二平均律予以距離量化并以數字品格（digital fret）來表示，為避免無法記意的枯燥的純數字表示，尋找高音品格長度相對低音品格長度的具有規律性的關系量值，作為換把時控制兩個手指的移動的制導信息，使演奏者感到“心中有數”。

弦樂演奏者，一拿起樂器，在他面臨的各種技術困難中，最大的問題始終是音準問題。……不管演奏者有多么老練、有多么高的專業水平，音準是最使他擔心的事情（拉斐爾. 布朗斯坦 1992， 第1頁）。雖然，聽覺對辨別音的高低能力的敏銳性在此起著重要作用，但音的準確性是由通過手指按在要達到的音的準確位置上來保證的，若音準不能得到保證，則后繼的各種弓法和其他技巧都變成無意義的了。

1.建立音準數學模型的必需性

數學模型的任務主要是實現兩種變換：（1）由音高向指板距離的變換；（2）形成各把位的“數字品格”；（3）對不同把位的八度和其他關系，尋找在兩指的原位品格與換把目的品格之間的某種規律性關系，以便在腦海中形成在不同情況下的相對控制量，實時地指引在演奏中兩個手指的移動，做到“心中有數”，以克服前述邏輯描述的模糊性和不確定性。

筆者在此試圖將前述那些靠近、離開等邏輯概念予以具有規律性的“量化”，并表明同一邏輯概念在不同情況（把位）下，量化結果是不一樣的。

本研究是以理想的十二平均律為基礎。忽略其它因素，如在高把位由于琴弦離指板的距離增大而使得按弦的音準由于張力的改變而帶來的“音差”等。

2.十二平均律的概念與意義

2.1 十二平均律的概念

幾個術語的約定：由低音到高音的變化，稱為上行；反之，稱為下行。

同樣的音程在不同的把位上的指板距離是不同的。例如，任何空弦音到其八度高音的指板距離為弦長的1/2 ，第二個八度高音，在距琴碼的弦長1/4處；對于其它音程，隨著把位的升高，其對應的弦上距離也是呈越來越小（短）的關系。

十二平均律建立的初衷是便于轉調，采用等音原則（ 例如 #d=be等），簡化了不同調的升、降號之間的關系，在八度內的12個半音處可進行12種變調。但是十二平均律也有其缺點，例如影響音程和和弦的和諧性（繆天瑞1996，第89，93頁）。它比較接近五度相生律，而比較遠離純律（繆天瑞1996，第113頁）。

對十二平均律來說，每相鄰兩個半音的振動頻率之比相等，此比值為一常數K，因而便有

帶有控制音高“品格”的弦樂器，如吉他、琵琶等等，其品格的定位就是采用十二平均律。

2.2十二平均律在計算無品樂器《數字品格》中的應用

此處探討十二平均律原理在無品樂器（如各種提琴）中的應用。

2.3 相鄰品格長度之間的關系

相鄰品格長度Si和Si+1之間的關系可表述為（式5）

相鄰品格長度之比的這一規律對于無品樂器演奏有著極為重要的意義，某個半音的位置不是在與其相鄰的另外兩個半音的中間，如#f 不是在f與g的正中間，而是略為偏向于g 。

品格之長度表示著兩個相鄰半音在指板上的距離，對于無品樂器的小提琴來說，這些品格就形成一種看不見的“數字品格”，可以多種形式幫助人們在演奏小提琴時“心中有數”（圖 2 ）。

圖2是小提琴各音在指板上的全景圖像。可有多種應用：

（1）它首先為小提琴演奏者提供一個正確的音階序列關系：在各弦上各個半音之間的距離從低到高以Q=1/K=0.943874313≈0.94倍逐步縮短，各不相同，這對半音階演奏有著重要的意義；

（2）此圖形可制成薄膜，固定在指板上，進行雙音、八度和弦等彈奏，作為拉奏的預先練習，特別是對半音階彈奏練習更為重要，可以說是“一步到位”，從而可免去試探性的“尋音”過程；

（3）可作為小提琴配套附件，或作為教學輔助工具；

3.十二平均律理論對無品弦樂器演奏的意義

3.1 半音階演奏

半音階演奏在此就是直接按照十二平均律半音階序列演奏：上行時后半音距離是前半音距離的Q=1/K=0.943874313≈0.94倍；下行時，前、后半音之間的關系則相反。

3.2 由全音向半音移動

在以往的文獻中，大都是講道：演奏全音時兩指間距離較大，演奏半音時兩指靠緊。此處試圖進一步表明，不管是全音距離還是半音距離，它們都是變量，是隨著把位的不同而變化。這里分兩種情況：

3.2.1上行（由低音向高音進行）

從相鄰音出發，設先行半音的品格長度為S，其緊接后繼全音可表達為 SQ+SQ2， 而全音的后繼半音可表達為 SQ3，由全音向相鄰較高半音移動時，則有相互關系：

此處m1為上行時半音與先行全音的距離比值。

即由一個全音向緊接著的較高半音前進時，心中要大體記著這個先行全音的數字品格長度（SQ+SQ2），它的0.46倍位置，就是緊接半音的位置。這一比例系數0.46，在上行過程中全程通用，筆者為此進行了專門的驗算。

3.2.2下行（由高音向低音進行）：

即由一個較高全音向緊接著的較低半音后退時，心中要大體記著這個較高全音的品格長度，它的0.54倍位置處，就是緊接較低半音的位置。

這一比例系數0.54，在下行過程中，也是全程通用，對此，筆者也進行了專門的驗算。上行、下行兩比例系數之間有著內在的聯系：

由上式可見，它們是相對于1互補。

4.八度和弦演奏數學模型的建立

4.1 把位的概念

手指在指板上的一定位置稱為把位，由一個把位到另一個把位的變動稱換把。

把位的安排是按照音階的次序、根據1指所處的音位來確定的。 例如1指按在第一把位的bA bE bB F 與A E B #F 音位上統稱第一把位，按在比這高半音和全音的位置上稱第二把位，余類推（盛中華 1997）。

八度雙音有同指換把與異指換把兩種演奏方法。本文僅研究同指換把演奏問題。

為了簡化音程與把位的關系，把各種各樣的音程都轉換為它所包含的半音的個數來表示。這里引入兩個概念：邏輯把位與物理把位：前者指專業演奏的把位，后者指轉化為指板上的每個半音為基礎的把位。在本文的研究中，均以物理把位為基礎。

4.2 中低把位的同指換把

這里涉及到起始把位的問題，它是指換把前左手所處在的把位。換把的核心問題是手型的位置與大小的確定。手型的位置由換把后的1指的位置來確定，手型的大小則由換把后的4指的位置來確定。對于換把來說，假定起始把位的位置是正確的，要研究的對象是如何準確地到達所需的目標把位。

4.3 同指八度換把

以最低把位的起始把位#G-#g為例，在研究向目標把位轉換時，均認為在起始把位上的手指是準確無誤的。先研究最小的半音換把：即要達到的目標把位為A-a.

1、4指演奏的八度和弦范圍內，八度上行換把時，不管1指移動多少距離，4指移動的總距離總是1指移動的總距離的3/4。

由此可見，下行時，不管4指后退多少，1指后退的距離總是4指后退距離的4/3。

綜述上行與下行的1、4指與4、1指移動的比例規律m1與m2可見，它們互為倒數或它們的乘積等于1：m1×m2= 。

5.結語

本文是對十二平均律原理在無品弦樂器（小提琴演奏）中的應用進行探討。明確表示了相鄰兩個上行半音是按頻率公比為K= 的等比數列增長（K大于1，數列遞升）。而相鄰品格（品格為兩相鄰半音振動弦長之差）卻按公比為Q（Q=1/K）的等比數列減小（Q小于1，數列遞降），把數字品格作精確繪圖（圖2），明顯直觀地顯示了半音序列的正確關系， 用它可作精確半音階、和弦等彈奏練習，可免除試探性的“尋音”過程，甚至可制作小提琴配套附件，加強教學效果。十二平均律的研究，對小提琴演奏來說，可使下列演奏進一步科學化：

（1）半音階演奏獲得堅強的理論支撐

半音階演奏在此就是直接按照十二平均律半音階序列演奏：

上行時后半音距離是前半音距離的Q=1/K≈0.94倍， 即距離逐步縮短；

下行時，前、后半音之間的關系則相反：后（較低）半音的距離是前（較高）半音距離的K≈1.06倍，即在后退過程中，半音之間的距離逐步增大。

（2）由全音向半音作規律性的移動

（3）八度和弦換把

這一結果具有普遍意義：即在適用1、4指演奏的范圍內，在八度上行換把時，，不管1指前行多少，4指前進的距離是1 指前進距離的3/4；

下行時的1、4指關系：

這一結果也具有普遍意義：即在下行時，不管4指后退多少，1指后退的距離總是4指后退距離的4/3。

統觀這些表述變化規律的數量指標，它們極為簡單明了。掌握它們均應該不算什么難事。

綜合上述簡明的數學規律可對小提琴演奏進行精確的數學支撐，這樣，就可以使小提琴演奏者真的自我感覺到“心中有數”了。

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