基于TI—Navigator技術的數學理解型教學研究

[摘 要] 作為數學課堂活動的一個基本要素，現代科技已經成為教師的教、學生的學和問題解決中必備的工具。研究以德州儀器公司TI-Navigator課堂連接技術為例，著重探討TI-Navigator技術環境下數學理解型教學方式的變革。研究表明，基于TI-Navigator技術的課堂網絡環境改變了師生及其與教學內容交互作用的方式，增強了教與學的聯系與制約，形成了自主探索與社會協商更為協調的課堂教學生態。研究的啟示是，在技術豐富的環境中，必須深化對人與技術的互動本性的認識，并對由此產生的認知與教學問題給予足夠的重視。

[關鍵詞] TI-Navigator技術； 課堂環境； 數學理解型教學； 工具中介

[中圖分類號] G434 [文獻標志碼] A

[作者簡介] 徐兆洋（1966—），男，江蘇淮安人。副教授，博士，主要從事數學課程與教學論、教育技術、教師教育研究。E-mail：xu_zyang@163.com。

一、引 言

數學理解型教學是一種以理解為取向的課堂教學形態，旨在避免數學教學中機械學習的傾向，促進以思維參與為核心的理解性學習。現代技術，特別是計算機、計算器等數字技術在數學教育中扮演的作用日益凸顯。然而，在課堂實踐中，我們經常注意到，當教師運用計算機多媒體技術開展教學時，學生卻還在使用紙、筆等傳統工具從事數學活動。這種技術應用的不平衡狀況表明，在深化課堂教學改革的進程中，如何通過技術推進課堂教學、尤其是學習方式的轉變仍有待于進一步研究。本文以德州儀器公司開發的TI-Navigator技術為例，探討基于TI-Navigator技術的課堂環境以及在TI-Navigator課堂環境下數學理解型教學方式的變革。

二、基于TI-Navigator技術的數學課堂環境

TI-Navigator技術是新一代的課堂連接系統，它以學生手持TI-Nspire計算器作為課堂的移動設備，通過TI-Navigator技術，將其接入以計算機為中心的交換平臺中。具體來說，基于TI-Navigator技術的數學課堂環境由計算機與課堂展示技術（投影儀、屏幕或互動白板）、TI-Nspire計算器與課堂連接技術（集線器、路由器）組成。其中，計算機和TI-Nspire計算器通過路由器實現無線連接，通過將計算機和TI-Nspire計算器“聯網”，TI-Navigator技術創設了一個網絡化的課堂環境，為師生開展活動提供了一條新的信息交流通道。屏幕捕捉（Screen Capture）讓教師能夠通過計算機獲取每個學生TI-Nspire計算器上的截屏。借助于投影儀，可以將一個或多個截屏投影到班級公共屏幕或互動白板上。屏幕捕捉使教師能夠“看到”學生在做什么，這有助于教師監控學生的活動，支持對課堂干預的理解，促進或引發課堂對話，支持同伴或自我評價等。

快速投票（Quick Poll）讓教師能夠隨時向學生的TI-Nspire計算器發送問題，了解他們對當前內容的理解。投票活動由教師發起和中止，投票一旦結束，對于判斷題或選擇題，快速投票會自動收集學生的回應、做出分析，并以條形統計圖的形式呈現出來。對于開放性問題，快速投票可以以公開或“匿名”的方式將學生給出的各種不同解答展現在班級公共屏幕上。

學習檢測（Learning Check）是一個更為復雜的評價工具，主要用于診斷性評價和形成性評價。與快速投票不同，學習檢測能向學生的TI-Nspire計算器發送包含多個問題、多種題型的學習檢測單。教師利用TI-Navigator導航軟件收集學生的解答并保存在計算機的課堂文件夾中。借助于課堂分析（Class Analysis）軟件可以對學生的回應做出詳細分析，并針對不同的題型和答案的正誤采取不同的呈現形式。

活動中心（Activity Center）類似于黑板，其中包含一個平面直角坐標系。學生可以通過TI-Nspire計算器在其中插入點、線等數學對象。而且，不同學生插入的數學對象會以不同的顏色標示出來（如圖1所示）。另外，教師也可以將因特網上的圖像下載到活動中心用于數學建模。活動中心主要用于發展學生的概念性理解。

需要指出的是，TI-Navigator課堂網絡環境僅支持學生手持TI-Nspire計算器與中心計算機發生信息交換，它不具有一般網絡“比鄰交換”的特征，也不支持郵件發送、網頁瀏覽等。但是，TI-Navigator課堂網絡環境增強了教與學的聯系和制約，為教師組織課堂活動提供了一個支持性的平臺。

三、TI-Navigator課堂網絡環境下

數學理解型教學

（一）以技術作為工具中介

“工具中介”是描述活動中主體與客體交互作用方式的一種視角。活動理論指出，任何活動都涉及人工制品，工具是主體作用于客體的中介。在中介活動中，主體與中介工具之間存在著不可避免的張力，它們相互作用，行動受主體與中介工具相互作用的制約。根據“工具中介”觀，中介工具不僅影響活動的性質，當工具被內化后還影響人的心理發展，對特定文化的工具使用形成了人們活動和思維的方式。在數學教育領域，“工具中介”觀表明，數學教學不僅應關注心智表征，而且應關注數學活動中使用的工具、工具的性質及其對數學認知發展的影響。

在TI-Navigator課堂網絡環境下，數學理解型教學是以技術作為工具中介的。計算機、TI-Nspire計算器是師生及其與教學內容交互作用的中介工具。作為中介工具，計算機、TI-Nspire計算器在數學活動中不再是可有可無的，它們是教師的教、學生的學和問題解決中必備的工具。首先，TI-Nspire計算器作為課堂網絡的移動端，是學生參與數學活動的認知工具。作為認知工具，TI-Nspire計算器能夠滿足學生學習活動中的大部分認知需求。計算機代數系統具有數值和符號計算能力，動態幾何能夠處理幾何圖形的結構，繪圖窗口具有動態地處理函數變換的能力，數據統計分析具有收集、分析數據并提供根據數據做出推理、預測的能力，等等。而且，TI-Nspire計算器快速且準確的常規性操作和運算能夠減少學生的認知負荷，使他們有更多的時間集中于概念性理解和策略加工。其次，計算機作為課堂網絡的中心，是課堂教學的組織工具。作為教學組織工具，計算機通過創建建構主義學習環境支持學生的思維和行動。例如，當學生存在認知負荷時，計算機能夠改變當前的任務重組學生的思維；當學生解決問題時，計算機可以在其最近發展區提供模型、高級思維的機會和對元認知的引導。計算機亦能使學生用具體方法對其思維進行表征，并使他們的推理過程可視化和得到驗證。另外，計算機還提供了共享的信息和知識建構工具，幫助學生合作建構社會協商的知識。研究表明，計算機和TI-Nspire計算器作為中介工具能夠激發學生的思維參與、增強和拓展認知能力、提高學生的學習機會，也有助于教師把技能的培養與一般化的數學理解結合起來。[1]

計算機和TI-Nspire計算器作為中介工具改變了數學課堂活動的方式。教學開始前，每個學生都需要利用TI-Nspire計算器在計算機上注冊“課堂身份”。“課堂身份”是教師管理學生活動的窗口。學生“登錄”課堂后，就可以接受教師的教學指令，參與課堂活動。教學開始后，教師通過“課堂身份”向學生TI-Nspire計算器發送學習任務，學生在TI-Nspire計算器上接受任務并作答。教師若想了解學生的活動情況，他不必在課堂來回走動，只需要打開計算機上的屏幕捕捉就可以看到學生的學習進展。當教師發現學生存在思維障礙時，可以通過計算機向特定的學生發送一個臨時TI-Nspire文檔以引導其思維。對于學習活動的結果，屏幕捕捉亦能夠快速收集并保存在計算機的課堂文件夾中。這種“在線”活動方式為教師提供了進行差異教學和個別指導的可能性，使得所有學生能在不同水平上獲得成功。而且，這種“在線”活動方式改變了課堂交流“人—人”、“一對一”模式，形成“人—機—人”、“一對多”模式，促進了課堂交流的參與性和平等性。

（二）通過多元表征促進概念性理解

數學學習活動離不開表征。在理解數學概念和關系時，在交流數學思想、推理及理解自己和他人的觀點時，在通過建模把數學應用到現實問題情境中時，表征都是一個極為關鍵的因素。在這里，術語“表征”既指過程又指結果。作為過程，表征是指用某種形式表達數學概念或關系的行為；作為結果，表征指形式本身，是行為的概念性組織或結構。研究表明，表征數學知識的方式，對于學生如何理解和應用這些知識來說是至關重要的。[2]不同的表征通常說明一個復雜概念或關系的不同方面，多元表征有助于發展學生對抽象的數學概念、關系和問題解決的深刻理解。

在TI-Navigator課堂網絡環境下，作為主要的數學認知工具，TI-Nspire計算器提供了列表、代數表示和幾何圖形或圖像等三種數學中最基本的表征方式。學生可以在TI-Nspire計算器上運用這些表征組織思維活動，例如，對幾何圖形進行翻轉、倒置、拉伸變換；進行代數表達式的變形和運算；用電子表單探討復雜的數據；或者同時用列表、方程和圖像考察函數的性質。不僅如此，TI-Nspire計算器較大的顯示屏還支持在同一屏幕創建列表、公式和圖像等三種表征方式，并且提供三種表征方式之間的動態聯結與轉換，使學生將注意力集中于不同表征之間的關系上，或者考察一種特定表征的變化是如何同時影響其他表征改變的。例如，為了研究一次函數中參數與的值對函數性質的影響，學生通過操作TI-Nspire計算器改變解析式中參數或的值，觀察列表和圖像的變化情況。如增加或減小之值，則同時可以看到列表中序數對值相應增加或減小，圖像變得陡峭或平緩，以及與之相聯系的線性表達式。隨著賦值的改變，學生就能觀察到存在于參數與序數對及圖像之間的變化關系。上述事例表明，TI-Nspire計算器的動態聯結功能提供了不同表征之間的互動性反饋，使學生能夠獲得在沒有技術輔助下難以觀察到的探索問題的情境。從數學理解的角度看，表征是思維的材料，不同的表征實質上是從不同的思維層次上來表達物化的數學概念或內蘊化的活動經驗，使學生能夠對表征所代表的意義進行思維操作。多元表征聯結不僅能增強學生的概念性理解，還能幫助學生克服任何單一表征無法呈現出來的數學概念的重要特征，特別是動態方面的特征。事實上，通過TI-Nspire計算器的多元表征聯結功能，學生能夠獲得數學概念在不同表征下的具體意義，觀察到在很不相同的情境中的數學現象有著共同的結構，或者從多種角度為現實世界和數學中的現象建立模型并檢驗結果。

與紙、筆等工具相比，計算機和TI-Nspire計算器改變了用通用的傳統表征所能做的事，也拓展了他們能用的表征方式。當學生學習使用這些全新的、多功能的工具時，他們會認識到用現代科技產生的表征與通用表征的差異以及對數學活動所造成的影響，為學生提供重新思考傳統表征、設計和評價新的表征的機會，思考符號和表征是如何幫助他們組織思維活動以及如何變得有意義的。

（三）課堂互動作為一種認知方式

社會建構主義認為，學習發生在社會情境中，并且依賴于共同體及其成員的互動。課堂中的互動是師生、生生之間圍繞教學內容所進行的對話、討論、交流與協商，是“在學習集體的人際關系之中產生認知活動的競技狀態”[3]。作為一種認知方式，課堂互動是對數學知識社會建構屬性的確認，強調集體思維與自主探究在數學活動中是同等重要的。從理解性學習的角度看，課堂互動能夠激發學生積極地思考，反思、精煉和修正數學觀點，也有助于理解觀點的意義，使之記憶深刻并公開化。

在教學過程中，課堂互動涉及個人觀點的公開和表達，以信息在不同認知主體之間的充分交換和共享為特征。課堂中的互動能否有效開展，既受到課堂環境的限制，也取決于交互媒介的選擇和運用。在TI-Navigator課堂網絡環境下，課堂互動是在計算機和TI-Nspire計算器的支持下進行的。計算機和TI-Nspire計算器作為交流工具為學生提供了課堂互動引導機制，使他們有機會參與到分享觀點、澄清理解的課堂活動中。例如，當學生在TI-Nspire計算器上從事數學活動時，教師借助屏幕捕捉能夠考察他們探索數學的過程和結果，可以將通常難以觀察到的數學思維方法呈現在班級公共屏幕上，引導學生在分享不同觀點的同時產生認知沖突，激勵學生主動參與討論、對話，表達自己的觀點，為觀點提供辯護。在此過程中，TI-Nspire計算器和計算機還能幫助學生組織思維活動，產生和提供新的觀點或論據，使課堂互動持續、深入地發展下去。另外，教師借助屏幕捕捉能夠采取“隱藏”學生姓名的方式呈現他們的數學活動結果，從而將所有的學生置于同等的場域，使課堂互動聚焦于觀點本身而不是“誰的觀點”。這種匿名的方式創造了一個相對安全的環境，讓那些缺乏自信、不愿表達自己觀點的學生愿意加入到互動行列中，也有助于學生公開自己獨特的想法甚至不同的見解。事實上，作為一種認知方式，課堂互動不是少數人的專利，而是全體學生共同參與的活動。每個學生作為個體通過參與課堂互動促進學習共同體的建構，課堂互動則促成個人知識的社會化并確認其作為共同體中一員的身份。TI-Navigator課堂網絡環境為學生“合法的邊緣性參與”提供了一個課堂互動平臺，支持學生在共同體中的對話與協作，共享知識與觀點，使學習成為教師與學生共享的責任。

作為一種物聯化的活動，課堂互動的方式不是單一的，而是多元的。也就是說，課堂中除了由計算機和TI-Nspire計算器支持的互動之外，教師和學生還廣泛采取書面表達、口頭語言、動作手勢等方式表達和交流他們的觀點。課堂互動不僅指向內容，也指向個人。多元化模式是TI-Navigator技術環境下課堂互動的典型特征。[4]在多元化的互動模式中，教師和學生將多元表征和腳手架等認知策略介入到學習活動中，更多的是介入到知識建構過程中。同時，多元化互動模式擴展了語義學資源的多元性，學生可以采用多種方式做和表達數學。

（四）評價成為課堂活動的一部分

現代教學論認為，評價有兩種基本取向：“為”學生實施的評價是教學告一段落的一次測驗，考查學生在特定條件下的表現；“向”學生實施的評價與教學是交互的活動，用于引導和提高學生的學習。從這個角度看，“向”學生實施的評價是植根于教學過程中的形成性評價。根據Black和Wiliam的觀點，形成性評價是指由教師或學生從事的所有活動提供的信息作為反饋，調整教與學的活動。[5]在課堂實踐中，形成性評價有兩種基本類型。其一，計劃的形成性評價基于特定的教學內容或目標，是教師課前準備好的測驗，評價學生達到教學目標的程度或對重要內容的理解。其二，互動的形成性評價基于學生在課堂活動中的行為和表現，采取提問、課堂作業、自我評價和同伴評價等方式，評價學生的概念性理解并為其提供如何改進的建設性反饋。研究表明，形成性評價不僅能夠提高學生的學習成就，還能為教師調整教學提供決策基礎。

TI-Navigator課堂網絡環境為形成性評價提供了必要的技術支持。在技術層面上，評價涉及收集學習活動的數據、對數據做出解釋并提供有效的反饋。然而，在大班教學和任務繁重的情況下，如果沒有技術的支持，收集和計算學生的回應將是一件非常耗時的工作，也不可能給每個學生提供具體的反饋。TI-Navigator技術通過改變信息交換方式對教與學行為所施加的影響支持形成性評價。具體來說，第一，TI-Navigator技術使得以TI-Nspire電子文檔取代紙質文檔作為信息載體成為可能。TI-Nspire文檔是TI-Nspire計算器產生的、記錄學習活動結果的頁面。一個TI-Nspire文檔通常包含若干頁，同一頁中可以插入圖像、公式、列表等不同的表征形式。借助于TI-Navigator技術，教師能夠快速發送和收集TI-Nspire文檔，提高評價活動中數據收集和反饋的速度和頻率。第二，TI-Navigator技術改進了反饋的方式。如可以將評價結果投影在班級公共屏幕上，讓學生通過對照和比較找出取得的成功或存在的不足；也可以將其發送到學生的TI-Nspire計算器上，幫助學生明確學習目標、承擔學習責任。事實上，形成性評價基于如下的假設：在學習過程中，盡早地給學生提供建設性反饋能夠提高學生的成績。TI-Navigator技術為學生提供了通過接受反饋持續地改進理解和建構知識的機會。第三，TI-Navigator技術還通過配備專門的工具來實施形成性評價。例如，學習檢測主要用于收集和解釋學生達到教學目標的程度，這加強了計劃的形成性評價。快速投票和屏幕捕捉用于收集和解釋學生對當前內容的概念性理解，這促進和改善了互動的形成性評價。而且，屏幕捕捉使教師能夠獲得學生在數學探索早期階段的思考，從而可以根據最近發展區水平臨時編擬測驗題，為學生提供一種程序上或元認知的“腳手架”，幫助學生改善思考和解決問題的方式。

從評價與教學的關系看，形成性評價的特征是互動性，它通過提問和反饋使教師獲得對學生理解的直接觀察。當提問和反饋經常發生，并且能夠促使學生反思他們所學習的內容以及是如何學習的，評價數據就能為教師提供教學改進的信息。根據維果茨基的最近發展區理論，互動的形成性評價不僅讓教師能夠獲得關于學生理解是如何展開的有效洞察，而且使教師將提供的幫助作為評價的一部分。此外，互動的形成性評價創造了改善教學的目標時機，為教師設計腳手架提供了具體的參照。[6]

四、結 語

隨著現代科技在數學教育領域的應用和發展，計算機與計算器、智能手機、iPad等各種移動工具極大地改變了課堂活動的生態圖景，為教學理念和實踐提供了必要的技術支持，成為推動課堂教學變革中最為活躍的一個因素。作為設計課堂環境不可或缺的要素之一，現代技術不僅能對傳統的教學方式產生深刻的影響，還能賦予潛在的心理學假設和教學理論以力量。面對技術豐富的課堂環境，一方面，我們需要建立一種新的理論框架，從制度和文化的維度重新審視教與學的過程；另一方面，我們也必須關注技術與人的行為、活動、認知方式之間的關系，深化對人與技術的互動性的認識。

[參考文獻]

[1] [2] 全美數學教師協會著.美國學校數學教育的原則和標準[S].蔡金法等譯.北京：人民教育出版社，2004：27，65.

[3] 鐘啟泉.“課堂互動”研究：意蘊與課題[J].教育研究，2010，（10）：73～80.

[4] Ferdinando，AOrnella，R..Multimodality in multi-representational environments[J].ZDM Mathematics Education，2010，（42）：715～731.

[5] Black，P. Wiliam，D..Assessment and classroom learning[J].Assessment in Education，1998，（1）：57～68.

[6] Shepard，L.A..The role of assessment in a learning culture[J].EducationalResearcher，2000，（29）：4～14.