小學數學問題解決認知分析、模擬及其教學啟示

[摘 要] 問題解決認知過程分析是提高問題解決能力的有效途徑和數學教育的重要目標。數學問題解決是復雜的認知過程，認知分析和模擬提供了研究學習過程的新視角。文章分析了認知模擬的相關研究，綜合心理學、教育學、腦科學、認知神經科學、人工智能等相關學科研究成果，以小學數學“異分母相加”問題為例，分析了問題解決認知過程，實現了認知模擬及可視化，在此基礎上討論了認知分析與模擬對小學數學教學的啟示。

[關鍵詞] 小學數學； 問題解決； 認知分析； 認知模擬

[中圖分類號] G434 [文獻標志碼] A

[作者簡介] 魏雪峰（1981—），男，山東萊蕪人。講師，博士，主要從事問題解決認知模擬研究。E-mail：weixfeng@gmail.com。

一、引 言

認知研究已成為世界大國國家科技戰略特別關注的領域之一。《國家中長期科學和技術發展規劃綱要（2006—2020年）》將“腦科學與認知科學”列為我國科技中長期發展規劃的八大前沿科技領域之一 。認知科學就是要“說明和解釋人在完成認知活動時是如何進行信息加工的”，[1]通過在心智、腦科學和教育（Mind， Brain and Education）之間建立橋梁，將最新成果應用于學習和教育過程。隨著學習科學的發展，許多研究者關注學習者的學習過程。我國《義務教育數學課程標準（2011年版）》也指出，“課程內容要符合學生的認知規律，不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊涵的數學思想方法”。[2]數學問題解決是典型的學習活動，分析問題解決認知過程有助于深入了解學生數學認知規律。本文分析了認知模擬的相關研究，綜合心理學、教育學、腦科學、認知神經科學、人工智能等相關學科研究成果，以小學數學程序性知識典型問題為例，分析問題解決認知過程，實現認知模擬及可視化顯示，并討論對小學數學教學的啟示。

二、認知模擬相關研究

許多研究者使用計算機模擬的方法來研究問題解決的內部過程。紐厄爾和西蒙編寫了第一個模擬人類解決問題的計算機程序——邏輯理論家（Logic Theorist，簡稱LT），成功模擬了人證明符號邏輯定理的認知過程[3]。LT證明了Whitehead所著數學名著《數學原理》中的全部52條定理，實現了對人類啟發式搜索的問題解決過程的模擬。紐厄爾和西蒙開發了通用問題解決者（General Problem Solver，簡稱GPS）程序[4]。該程序主要是依據“手段—目的分析”方法編寫而成，成功模擬了定理證明、河內塔（Tower of Hanoi）、傳教士和野人過河等多種不同類型的問題。Hiller等人開發了模擬人譜寫樂曲的計算機程序[5]；紐厄爾等人開發了模擬人下棋的程序[6]；紐厄爾等人根據經驗修改其自身許多方面，進而達到“學習”的計算機程序[7]。西蒙對頓悟、理解等思維和問題解決的行為進行了計算機模擬，他認為計算機模擬是一個預測和解釋大量思維現象的強有力工具[8]。

在數學問題解決認知模擬領域，安德森等人使用ACT-R模擬了代數方程式“7x+3=38”的解題過程[9]，魏雪峰對典型陳述性知識小學五年級“眾數”問題實現了認知模擬[10]。幾何證明是重要的數學問題，Gelernter等人開發了模擬人證明幾何定理的計算機程序——幾何機器（Geometry Machine）[11]，李莉等人使用ACT-R實現了平行證明幾何問題的認知模擬[12]。我國學者吳文俊院士提出了一種幾何定理機器證明的數學算法，被稱為“吳方法”[13]。張景中院士等人在“吳方法”的基礎上進行改進，使新的算法實現了幾乎所有幾何證明題的自動解題[14]。

綜合以上分析可知，現有的數學問題解決認知模擬主要存在以下不足。

（1）數學問題的計算機自動解答，雖然取得了巨大進展，但僅從機器角度實現，和數學課程所要求的解答有很大的不同，沒有考慮學生問題解決的過程，解題所用的方法也常常超出學生所掌握的知識范圍[15]，不能對教學提供幫助和指導。

（2）卡耐基梅隆大學安德森（Anderson J. R.）教授帶領的研究團隊對數學問題解決的認知過程進行了研究，并提出了用于指導模擬和理解人類認知的ACT-R理論，但沒有給出如何分析小學數學問題解決認知過程。

（3）已有研究僅從各自視角對數學問題解決進行了分析，未能綜合相關學科的研究成果，缺乏實質性的學科交叉研究。

三、小學數學問題解決認知模擬

（一）典型問題

研究過程中分析的內容是小學五年級下冊第四單元“分數的意義和性質”中的“異分母相加”知識點。[16]“異分母相加”知識點的教學目標是學會計算兩個異分母相加，是小學數學程序性知識典型問題。

在學習“異分母相加”之前，學生已經知道自然數2、3、5的倍數特征，了解公倍數和最小公倍數。在1～ 100的自然數中，能找出10以內自然數的所有倍數，能找出10以內兩個自然數的公倍數和最小公倍數。

根據“異分母相加”知識點和學生的特點，設計了以下題目：

“請給長方形紙張涂顏色，整張紙的1/3涂成黃色，整張紙的2/5涂成黑色，顏色不能相重（即涂黃色的位置不能涂黑色，涂黑色的地方不能涂黃色），黃色和黑色共占整張紙的幾分之幾？”

（二）認知過程分析

認知模型是分析問題解決認知過程的依據。以小學數學問題解決認知模型（A Cognitive Model of Mathematical Problem Solving，CMMPS）[17]為分析框架，該認知模型包括視覺模塊（Visual Module）、產生式模塊（Production Module）、提取模塊（Retrieval Module）、目標模塊（Goal Module）、問題狀態或問題空間模塊（Problem State Module，也稱為Imaginal Module）、輸出模塊（Manual Module）等六個模塊。“異分母相加”問題解決的認知過程可描述為：

（1）學生看到問題，視覺編碼后，激活長時陳述性記憶中相關對象，實現題意理解，將目標確定為異分母相加，即“1/3+2/5 =？”，完成了從應用問題到計算問題的轉換；

（2）要解決問題“1/3+2/5 =？”，激活產生式“異分母相加→求最小公倍數”，將目標確定為求3和5的最小公倍數；

（3）要求3和5的最小公倍數，激活產生式“3和5的最小公倍數→3×5”，提取長時陳述性記憶中的事實“3×5=15”；

（4）求得最小公倍數之后，要將異分母化為同分母，即通分，“1/3”和“2/5”分別通分為“5/15”、“6/15”；

（5）通分后，異分母相加問題轉化為同分母相加，激活產生式“同分母相加→分母不變，分子相加”；

（6）提取長時陳述性記憶中的事實“5+6=11”，結果為“11/15”，解題過程結束。

為了形象直觀的表示“異分母相加”這一問題解決認知過程，分析結果以認知矩陣形式表示，見表1。

表1中最左側的一列數字表示行號，每一列表示問題解決過程中每個模塊在不同時刻的內容；每行代表認知邏輯步驟（Cognitive Logic Step），并非與實際解題步驟完全一致，最后一行表示認知過程結束，即問題解決過程結束。

（三）認知模擬

認知模擬工具是美國卡耐基梅隆大學著名認知心理學家安德森（Anderson， John R.）教授研究團隊開發的ACT-R 6.0（Adaptive Control of Thought - Rational，簡稱ACT-R），其內部架構、參數設定都是依據大量的心理學實驗數據得到的，很多數據是通過核磁共振實驗精確驗證過的，具有一定的認知神經學基礎。它已經被廣泛使用來模擬人類認知行為的不同方面，例如漢諾塔問題（Tower of Hanoi）、語言理解、模式識別、記憶、簡單幾何證明等[18]。

對于不同的任務，研究者可以結合ACT-R的認知觀，增加自己對特定任務的假設，建立具體問題的ACT-R模型。研究中根據以上對“異分母相加”問題解決認知過程的分析，構建“異分母相加”ACT-R模型，使用Common Lisp語言編寫認知程序，實現認知模擬。“異分母相加”問題解決認知過程模擬如圖2所示，最小時間間隔為0.05秒（默認值）。

從模擬過程可以看出，問題解決過程中設定目標是關鍵一步，從確定目標開始，中間過程是問題狀態的不斷轉換，最終以達到目標結束。

（四）激活腦區

ACT-R中的模塊映射到腦區，這種映射可以使用功能性磁共振成像（Functional Magnetic Resonanceimaging，fMRI）方法來記錄“異分母相加”問題解決過程中大腦的血氧水平依賴（Blood Oxygen Level Dependent Response，BOLD）相應數據。

圖1以三維圖的形式在大腦模型中顯示了“異分母相加”問題解決過程某時刻大腦激活區。圖1中“0.0～1.0”表示的是亮度值。“0”是最小值，表示沒有被激活，區域是黑色的；值越接近“1”，表示激活的越多，區域亮度越高。圖的左側以不同顏色標示了緩沖區，緩沖區右側數字是激活程度。圖的右側是大腦激活區域，用與左側模塊相同的顏色顯示。

從圖1中可以看出，“異分母相加”問題解決過程中目標、提取、產生式緩沖區均有不同程度激活，其中目標緩沖區激活程度最大，值為0.981，接近最大值。緩沖區與大腦區域的對應關系，從圖1中可以明顯看出，圖像緩沖區（Imaginal）中內容（主要是數字）的提取與頂葉皮層（Parietal Cortex）的激活密切相關，這一結論與Pinel等人[19]、Eger等人[20]、張紅川等人[21]關于被試在看到數字或進行數字加工時頂葉皮層顯著激活的研究結論一致。提取（Retrieval）緩沖區負責提取陳述性記憶，與前額葉皮層（Prefrontal Cortex）激活相關，這一結論與秦裕林等人[22]、安德森等人[23]、Sohn等人[24][25]研究結論相一致，即前額葉（The Prefrontal）而不是頂葉（The Parietal）與個人知識提取相關。程序性（Procedural）緩沖區負責程序性知識的提取，與基底節激活密切聯系，這一結論與Hikosaka等人[26]的研究結論一致。

四、實 驗

實驗目的是比較“異分母相加”問題解決認知過程模擬和學生實際問題解決過程的一致性。

（一）研究對象

選取河北省高陽縣某小學五年級5班6名學生為被試，其中男、女各半，平時數學綜合成績優、中、差各2名，平均年齡133個月，年齡范圍在128～138個月之間。

（二）材料

實驗材料為根據本研究目的專門設計的兩道問題。

（1）五年級2班進行跳繩測驗，第1組7名同學1分鐘跳繩成績如下：

172 145 135 142 139 140 138

你認為用什么數表示這個小組同學跳繩的一般水平合適？

（2）請給長方形紙張涂顏色，整張紙的1/3涂成黃色，整張紙的2/5涂成黑色，顏色不能相重（涂黃色的位置不能涂黑色，涂黑色的地方不能涂黃色），黃色和黑色共占整張紙的幾分之幾？

其中，第1題是用于訓練學生出聲思維的練習題，第2題為“異分母相加”知識點題目。

（三）數據收集與編碼

實驗過程中使用口語報告法收集資料。指導語為：“請大聲讀題，在解題過程中自己怎么想就怎么說。也就是說，在做題過程中一邊想一邊說。把自己的思考過程大聲說出來，以便知道你是怎么做題的。”做題開始前，主試（研究者本人）先簡單說明指導語的要求，之后以第1題為例，主試示范并說明在做題過程中如何出聲思考。在被試學會出聲思考后，開始做第2題，并同時錄像，記錄學生解題過程。

收集的資料包括口語報告資料和解題作業兩部分。對于口語報告資料，首先由專業人員轉譯成文本，再結合學生的解題作業進行編碼分析。編碼工作由兩位專業人員負責，對于編碼中少量不一致的地方，經討論后達成一致。口語報告記錄通常所提供的直觀信息是有關解決問題時所需要的知識和信息，并不是實際的加工過程。[27]因此，編碼過程中有必要從口語報告記錄的信息中推論出內部加工過程而不是嘗試直接編碼這一加工過程。

（四）結果分析

紐厄爾和西蒙實現了人類思維的計算機模擬，并通過口語報告與機器模擬結果比較來推斷機器模擬的有效性。[28]本實驗也采用此方法以驗證模擬的有效性。

分析“異分母相加”問題解決口語報告可以發現，WangZY、ChenHY和XingYR等同學解題過程都包括了通分、求最小公倍數、同分母相加等環節，但在求最小公倍數環節，WangZY提到了“3和5為互質數，最小公倍數為3×5=15”，而ChenHY和XingYR直接說出了“最小公倍數為3×5=15”。LiL同學解題錯誤，因為解題過程中使用了錯誤的產生式。

“異分母相加”問題解決認知模擬與口語報告比較如圖2所示。左側是認知模擬的結果，右側是口語報告的內容。比較后發現，兩者一致。

五、對小學數學教學的啟示

（一）對同一道題，不同的學生采取不同的解題方法

關于“異分母相加”問題，WangZY、ChenHY和XingYR雖然都正確解題，但細節還是存在差異。在求最小公倍數環節，WangZY提到了“3和5為互質數，最小公倍數為3×5=15”，激活了長時陳述性記憶中“互質數”的概念。求最小公倍數時，根據互質數的性質，最小公倍數為兩數相乘，激活了長時程序性記憶。而ChenHY和XingYR則直接說出了“最小公倍數為3×5=15”，激活了長時程序性記憶。因此，數學教學中應考慮學生解題策略的不同，鼓勵學生從不同角度解決問題，有意識地培養學生的數學思維能力。

（二）學生解題過程中，存在不同程度的“自動化”現象

在“異分母相加”問題求“3和5的最小公倍數”時，WangZY說“3和5是互質數，最小公倍數是3×5=15”，而ChenHY則直接說“3和5的最小公倍數是15”，直接給出了計算結果。這一現象說明了學生在解題過程中，內部認知操作可以壓縮，經過長時間的訓練，幾個簡單的認知操作可能會壓縮為一個，形成“組塊”。如兩個產生式規則P1：A→B；P2：B→C，P1和P2經常同時激活，會產生新的產生式規則P3：A→C。安德森研究解代數方程問題時發現同樣存在“自動化”（Speed Up）現象，認為經過充分的訓練可能會將解方程簡化為一系列的視覺編碼和輸出操作。[29] 匈菲爾德研究表明，要成為某個領域的專家，一般需要在長時記憶中擁有大約50000個知識塊，這些知識塊是該領域內進行思維操作的具體對象，而且，在許多情況下看似在運用策略，實際上是在運用這類已相當完善的知識塊。[30]以上研究結論與本研究分析一致，這也在一定程度上解釋了數學成績優秀的學生和數學成績差的學生在解決問題時的差異，前者具有較多的“自動化”知識，而后者則較少。

（三）錯誤的產生式是導致問題解決錯誤的重要原因之一

“異分母相加”問題中，LiL求解“1/3+2/5”時，激活了錯誤的產生式P1：異分母相加→分母、分子分別相乘，導致問題解決錯誤。產生錯誤產生式的原因可能有兩個。（1）LiL同學對分數的意義不理解。長時陳述性記憶中關于分數的語義模型有問題。（2）對前面講過的通分策略沒有理解，不知道為什么通分，如何通分。安德森研究了學生學習解代數方程的認知過程也認為，學習發生在符號層級，創建（或生成）了新的產生式規則。[31] 因此，教師如何幫助學生形成正確的產生式規則是程序性知識學習的重要環節。

（四）問題解決認知過程分析為問題診斷及干預提供幫助

LiL在計算“異分母相加”時出現了典型錯誤，分析口語報告可以發現：（1）LiL成功提取了陳述性知識3×5=15和1×2=2，說明兩數相乘沒有問題；（2）雖然直接分子、分母分別相乘，說明能正確識別分數的分子、分母；（3）解題錯誤關鍵是錯誤的產生式“異分母相加→分子、分母分別相乘，作為和的分子、分母”。要幫助LiL同學改正錯誤，就要考慮如何幫助他形成正確的產生式“異分母相加→求最小公倍數”及實現該產生式需要的教學干預。

六、總結與展望

本文以小學數學“異分母相加”這一程序性知識典型問題為例，綜合心理學、教育學、腦科學、認知神經科學、人工智能等相關學科的研究成果，分析了問題解決的認知過程，實現了認知模擬及可視化顯示，并討論對小學數學教學的啟示。問題解決認知分析與模擬有助于更好地理解學生的學習。然而，學生因已有知識、學習風格、認知特點、家庭環境等因素，對同一問題的解答可能不會完全一致，但總會有相似的地方。通過口語報告的方法來驗證計算機模擬中不是所有人問題解決過程都是一樣的，但是有很多相似的地方，即共性的部分。[32]在本研究中也主要考慮其共性部分。

問題解決是一個非常復雜的認知過程，計算機能否完全模擬人的問題解決過程，一直存在爭議。然而，計算機模擬把問題解決過程中的一些因素綜合起來，重建這個過程，克服了以往實驗心理學以分析為主的做法，為從整體上了解問題解決的認知過程開辟了一條道路 [33]。隨著認知科學和人工智能的不斷發展，認知分析和模擬為研究問題解決過程提供了新視角。對學習內容、學習過程的分析，有利于數學教師更好地理解學生的學習過程，為學習媒體選擇、典型問題設計、問題診斷等提供依據和參考；有利于設計數學教師培訓課程體系[34]，促進新手教師向專家教師發展，提高數學教師的教學技能。

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