實(shí)變函數(shù)論課程教學(xué)改革的幾點(diǎn)體會(huì)

【摘 要】本文針對(duì)實(shí)變函數(shù)論課堂的特點(diǎn)，結(jié)合筆者自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出了該課程課堂教學(xué)改革的幾點(diǎn)體會(huì)，以期對(duì)提高該課程的教學(xué)質(zhì)量起到一定的促進(jìn)和交流作用。

【關(guān)鍵詞】實(shí)變函數(shù)論 Lebesgue積分 教學(xué)改革

【中圖分類號(hào)】O174.1 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2013）08-0026-02

實(shí)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，主要由法國(guó)數(shù)學(xué)家Lebesgue在l9世紀(jì)末20世紀(jì)初創(chuàng)立。它是普通微積分學(xué)的繼續(xù)，其目的是為了克服牛頓和萊布尼茲所建立的黎曼積分存在的缺點(diǎn)，使得微分和積分的運(yùn)算更加對(duì)稱、更加完美。它的任務(wù)是使學(xué)生掌握近代抽象分析的基本思想、提高抽象思維和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，加深對(duì)數(shù)學(xué)分析知識(shí)的理解，深化對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)。課程主要內(nèi)容是以點(diǎn)集為基礎(chǔ)的集合論、Lebesgue測(cè)度論與可測(cè)函數(shù)以及Lebesgue積分論。

該課程是學(xué)習(xí)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，是連接近代數(shù)學(xué)與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的橋梁。該課程的特點(diǎn)是：概念性強(qiáng)、理論精密、內(nèi)容抽象且嚴(yán)謹(jǐn)、應(yīng)用廣泛；該門課程幾乎沒(méi)有什么計(jì)算，其內(nèi)容就是由概念、定理與推論所組成的一個(gè)理論體系，往往是介紹了某個(gè)概念之后，接著是一連串的定理、推論及晦澀、難懂的證明。介紹的概念有較強(qiáng)的抽象性、突然性和高度的概括性，較難理解。定理證明過(guò)程技巧性高、邏輯性強(qiáng)、難度大，課后的習(xí)題基本上是一些結(jié)論應(yīng)用的證明題，有的甚至是某個(gè)結(jié)論的延伸，解題有較高的技巧性和難度，所以該門課程的特點(diǎn)可以概括為：抽象、枯燥、難懂。為更好地促進(jìn)該課程的教學(xué)，周其生在分析實(shí)變函數(shù)課程教學(xué)中容易產(chǎn)生的問(wèn)題以及學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程常見(jiàn)困難的基礎(chǔ)上，對(duì)這門課程教改的做法提出了幾點(diǎn)探討。許靜波和張國(guó)芳在教學(xué)模式上進(jìn)行了一些改革嘗試。蘭堯堯探討了有關(guān)實(shí)變函數(shù)教學(xué)的方法。在本文，筆者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，給出了幾點(diǎn)教學(xué)上的體會(huì)。

一 教學(xué)體會(huì)

1.精簡(jiǎn)傳統(tǒng)內(nèi)容，滲透現(xiàn)代教學(xué)觀點(diǎn)

遵循“少而精，寬而淺”的基本原則，采用逐步滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、知識(shí)的方式。具體對(duì)集合與基數(shù)的內(nèi)容要精講，半序的內(nèi)容簡(jiǎn)述；重點(diǎn)介紹Lebesgue測(cè)度的基本內(nèi)容，對(duì)一般測(cè)度論、復(fù)測(cè)度論知識(shí)不做具體要求；可測(cè)函數(shù)論中的魯金函數(shù)論思想應(yīng)重點(diǎn)介紹，可測(cè)函數(shù)列的收斂關(guān)系應(yīng)展開(kāi)討論，Lebesgue積分與（R）積分的關(guān)系，重積分及微分理論宜要求泛而不精。

2.趣味性教學(xué)，改變傳統(tǒng)教學(xué)方法

實(shí)變函數(shù)論課程給學(xué)生的印象就是： 難懂、抽象、枯燥。要高質(zhì)量地完成該課程的教學(xué)，就需要教師從教學(xué)方法上下工夫，增加趣味性，減少枯燥性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

第一，趣味教學(xué)，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。授課過(guò)程中，通過(guò)列舉一些與生活相關(guān)的實(shí)例來(lái)闡明一些抽象、含混晦澀的定理和定義。

例如：第一章第五節(jié)中“不可數(shù)集合中有一個(gè)定理”是為了說(shuō)明不可數(shù)集合中沒(méi)有最大的基數(shù)，只有更大的基數(shù)。那么在證明這個(gè)定理時(shí)，學(xué)生們存在兩個(gè)難懂的問(wèn)題：第一個(gè)，不理解集合的元素和集合的子集存在的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這時(shí)，可以采取一個(gè)蘋(píng)果和一堆蘋(píng)果進(jìn)行比較學(xué)習(xí)。第二個(gè)，不理解證明采用的悖論，可以給學(xué)生們舉例：一位理發(fā)師聲稱他的工作是給本鎮(zhèn)上所有不給自己刮臉的人刮臉；同時(shí)，他絕不給那些給自己刮臉的人刮臉。忽然有一天早上，當(dāng)他將要給自己刮臉時(shí)，想到一個(gè)問(wèn)題：“我該不該給自己刮臉呢？”——理發(fā)師的悖論，它同這個(gè)證明的思想是完全一致的。因?yàn)槿绻o自己刮臉，則據(jù)他聲稱的前一半，他不應(yīng)給自己刮臉；但如果他不給自己刮臉，則據(jù)他聲稱的后一半，他又應(yīng)給自己刮。于是，理發(fā)師陷入矛盾之中，學(xué)生不僅被這個(gè)故事引得哄堂大笑，還從中領(lǐng)會(huì)了“矛盾律”的深刻內(nèi)涵。收到的效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出對(duì)這個(gè)定理的抽象證明。

又如，為了幫助學(xué)生理解無(wú)限與有限的本質(zhì)，在建立（a，b）于[a，b]之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的時(shí)候，乍一看，這明顯不能構(gòu)成對(duì)等關(guān)系。怎么辦呢？這時(shí)引導(dǎo)學(xué)生們思考：把區(qū)間中的元素找出來(lái)。此時(shí)，都會(huì)把區(qū)間中的有理數(shù)列出來(lái)，因?yàn)樗强蓴?shù)的；然后把開(kāi)區(qū)間的有理數(shù)與（a，b）以及[a，b]中的有理數(shù)去配對(duì)，由于無(wú)限集合的特點(diǎn)，我們可以構(gòu)成它們之間的對(duì)應(yīng)的關(guān)系。剩下就是（a，b）中的無(wú)理數(shù)與無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)了。

以Lebesgue 本人的一個(gè)生動(dòng)形象的描述：“我必須償還一筆錢，如果我從口袋中隨意地摸出來(lái)各種不同面值的鈔票，逐一地還給債主直到全部還清，這就是黎曼積分，不過(guò)我還有另外一種做法，就是把錢全部拿出來(lái)并把相同面值的鈔票放在一起，然后再一起付給應(yīng)還的數(shù)目，這就是我的積分”來(lái)介紹Lebesgue積分與Riemann積分的區(qū)別時(shí)，這樣學(xué)生們更容易理解，又容易掌握兩種積分的區(qū)別。

第二，采用多種教學(xué)方法，講與學(xué)相結(jié)合，多媒體輔助教學(xué)。將現(xiàn)代教學(xué)手段應(yīng)用于本課程的教學(xué)中，發(fā)揮多媒體的直觀性和形象性，通過(guò)用特殊情況下的圖形來(lái)幫助理解抽象的東西，如一般集合中的許多結(jié)論，先用區(qū)域或某些特殊圖形來(lái)理解它，就可猜測(cè)出其結(jié)果，然后再去證明。通過(guò)選取適當(dāng)章節(jié)讓學(xué)生自學(xué)，組織學(xué)生開(kāi)展討論，教師參與質(zhì)疑，引導(dǎo)學(xué)生變被動(dòng)為主動(dòng)；開(kāi)展開(kāi)放式教學(xué)，拓寬教學(xué)形式。

第三，改變傳統(tǒng)的作業(yè)模式，讓學(xué)生自己成為作業(yè)的主人。以往的教學(xué)中，都是教師每講完一節(jié)或一章，布置一定數(shù)量的習(xí)題，讓學(xué)生們課后完成。然后老師批改，針對(duì)作業(yè)中存在的問(wèn)題在課堂上予以講解。但現(xiàn)在學(xué)生們手中的習(xí)題資料很多，網(wǎng)絡(luò)資源豐富。抄襲作業(yè)的情況不時(shí)會(huì)出現(xiàn)，因此從作業(yè)中無(wú)法反映他們的學(xué)習(xí)情況。此時(shí)，可以讓學(xué)生自己當(dāng)作業(yè)的主人，每章結(jié)束后抽取一定數(shù)量的有代表性的習(xí)題，讓學(xué)生們先準(zhǔn)備，然后由他們來(lái)講解。這樣，既可以鍛煉學(xué)生的膽量，又可檢查學(xué)習(xí)的情況，同時(shí)能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

第四，培養(yǎng)學(xué)生們的創(chuàng)新意識(shí)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用思維訓(xùn)練。實(shí)變函數(shù)中的Lebesgue積分就是在黎曼積分的思想上，通過(guò)逆向思維得出的，在教學(xué)過(guò)程中，充分抓住這一核心，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。在講解完基數(shù)后，在基數(shù)a和c中是否還有別的基數(shù)，讓學(xué)生們思考，有意識(shí)地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維。

二 結(jié)束語(yǔ)

本文總結(jié)了實(shí)變函數(shù)論這一經(jīng)典課程在課堂教學(xué)中的幾點(diǎn)體會(huì)。在教學(xué)實(shí)踐中還會(huì)有許多新問(wèn)題出現(xiàn)，需要根據(jù)不同的實(shí)踐情況隨時(shí)調(diào)整教學(xué)方法。

參考文獻(xiàn)

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[2]周其生.《實(shí)變函數(shù)》課程教學(xué)改革初探[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2000（2）：44～46

〔責(zé)任編輯：龐遠(yuǎn)燕〕