立體幾何的勤思巧想活運用

【摘 要】空間立體幾何是數學將空間中的實物抽象地簡化在量的角度上，便于空間研究的一門重要理論學科。它培養的是學生的邏輯思維能力和空間想象能力。

【關鍵詞】立體幾何 思維模式 技巧

【中圖分類號】G634 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）08-0033-02

從初中的三視圖起到高中的空間向量、立體幾何都是數學學習中的重中之重。然而，對大部分學生來說，立體幾何的學習總是困難重重。授之以魚，不如授之以漁。每個人都有一定的先天的空間想象能力，要增強學生的空間能力，這就需要有一種正確的方法去引導學生學會“看”，學會“空間語言”，學會“在空間媒介中進行思考”。“若世上存在限制，這個限制便是自身的想象力。”這是美國《發現》節目的一句經典解說詞，幾何的學習正是這樣，很多時候并不是看到的那樣，而是在觀察、猜想、想象之后再在驗證中得出結論；立體幾何是我們在三維空間里，在大腦的配合下對看到的實物進行判斷，抽象而成的。正如，美國心理學家威廉·詹姆斯說過的一樣：“我們感知的一部分來自我們眼前的直觀事物，也許更大一部分來自我們的大腦”。

現在的立體幾何教學應以培養學生的空間想象能力為主，開發學生的理性思維能力，讓大腦習慣幾何思考，對學好立體幾何來說尤為重要。

一 靜動結合思維，折疊問題小方法

例1：圖1表示的是不尋常的剪刀，要使剪裁部分接近，請確定一下，需要接近還是拉開剪刀帶環的兩端。

這道題既考查了學生的想象力，也注重了思考的重要性。“靜變定動，動靜結合，以不變應萬變”，是解這道題的方法。顧名思義，就是將靜的圖形按題目要求變一下，固定一個地方，讓圖形在大腦中以固定一處開始變動。如例1中的剪刀，都是現實生活中所沒有的模型，我們此時就可以利用以上的這種空間想象的原理，假設剪刀虎口處為固定點，轉動剪刀，即可得出答案，此題本身難度不是很大，但設計卻很巧妙，需要有一定的空間想象能力以及縝密的邏輯思維，此題有利于學生空間思維能力的提高。

二 形、思，二位一體，解視圖問題

在立體幾何的學習中，很多學生頭疼三視圖的問題或復雜的幾何圖形問題，這時，我們可以試著找一找幾何圖形在生活中的原型、實物，利用實物模型是在立體幾何學習中一種很傳統，也很普遍的方法，從直觀的實物出發，發散思維，從形到思，解決問題。下面我們就利用這種方法來解決一個實際的數學幾何問題。

例2：（2012江蘇高考）見圖2所示，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=AD=3cm，AA′=2cm，則四棱錐A-D′DBB′的體積為____cm3。

例3：（合肥市2009年高三第二次教學質量檢測）用若干個棱長為1的正方體搭成一個幾何體，其主側視圖見圖3所示，對于這個幾何體下列說法正確的是（ ）。

A、這個幾何體的體積一定是7；

B、這個幾何體的體積一定是10；

C、這個幾何體的體積最小值是6，最大值是10；

D、這個幾何體的體積最小值是7，最大值是11。

解析：這是兩道很好的例題，題目新穎、出題簡單，都可以借助模型拓展想象力，如例2我們會習慣性地以墻角為基本模型構造立體長方體，然后利用空間想象能力在大腦中構造四棱錐得出體積，也可以用長方體體積減去其他部分體積得出，方法很多，關鍵是要讀懂圖。又如例3題中只有主、側視圖。因此該圖組成個數不唯一，由圖得知第二、三層各有一個，最底層最多有9個、最少有3個，故答案應是這個幾何體的體積最小值是5，最大值是11。雖然這道題出了錯，但它很巧妙地讓考生鍛煉了空間想象能力，開闊了思路，關鍵在于思考點設計得很巧。若將D選項改一下，這道題就完美了。但因為有缺陷，也讓我們明白想法是不受題目的限制的，思維不定才會讓幾何富有趣味。

三 魔方思維，不一樣的思路達到最終的成功

魔方是由立方體演變而來的，但它的思維力度要遠遠高于簡單的立方體，空間幾何同樣如此：幾何圖形變化萬千，而模型簡單而有限，所以，我們必須要鍛煉的是面對不規則圖形時多方位思考，將幾何知識綜合“活”運用。

例4：（2012年天津高考）如圖4所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PD=AD=2，AC=1。（1）證明PC⊥AD；（2）求二面角A-PC-D的正弦值。

例5：（2010年遼寧高考）有4根長都為2的直鐵條，若再選2根長都為a的直鐵條，使6根直鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形鐵架，則a的取值范圍是（ ）。

A、（0， + ） B、（1，2 ）

C、（ - ， + ） D、（0，2 ）

例4是一個綜合性很強的題，給出簡單必要條件，該題可用線面關系解出，但由于圖形本身的限制，作輔助線之類，不易作出，同時也不好理解，而且如果條件過多，反而會讓圖像過于混亂。此時，我們便可以利用空間向量，將圖形“量”化，假設以A點為坐標原點，AD、AC、AP分別為X、Y、Z軸，然后利用空間向量的計算，即可簡易地得出答案，這種方法更有助于集合基礎證明或計算的理解。兩種方法，一種直接利用線面關系，一種利用空間向量，都可以很好地解決問題。在考場中，為了節約時間，如果對幾何關系不是完全了解的話，第二種方法可以更好地提高準確率。所以看到一道題，你可以有很多種思路，但要選擇最優路線，解決問題才是關鍵。

例5是一個求解范圍的立體幾何問題，這種類型與生活聯系較緊密，題很靈活，所以應擴大考慮層面，多角度、細致考慮，從最值看起，從特殊到普通，從個例到一般，簡化問題，去繁從簡，即可用排除法從選項中選中正確答案。

四 結束語

立體幾何的學習，不僅僅是對數學的理解，更是對生活的想象，在學習立體幾何的過程中，不僅要牢記基礎定理、公式，還要盡可能地發展個人想象力，動靜結合，形思一體，發散思維，多角度認識問題、解決問題，在學習的過程中不斷改進，從而找到一套更適合自己的立體幾何學習方法，勤思巧想活運用。

參考文獻

[1]劉培杰數學工作室組織編譯.發展空間想象力[M]. 哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2010

〔責任編輯：龐遠燕〕