兩類遞推數列通項公式的不動點求法

【摘 要】數列及其性質的研究，對確定數列的通項公式起著至關重要的作用。文章介紹了兩類遞推數列通項公式的不動點求法，給出了兩個結論并舉例說明。

【關鍵詞】遞推數列 通項公式 不動點

【中圖分類號】O122 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2013）08-0129-01

求遞推數列的通項公式或研究其性質是高中數學的重點內容，也是高考熱點之一。研究數列問題時，熟練地求出通項，是解決問題的關鍵。數列的通項公式可以看做函數的解析式，而函數解析式深刻地反映了函數性質。因此，利用函數知識求數列的通項公式，值得我們研討。利用函數的不動點知識，我們得到了兩類遞推數列通項公式的一般性解決。

一般地，若x0滿足f（x0）=x0，則稱x0是函數f（x）的一個不動點。

定理1：若f（x）=ax+b（a2+b2≠0），則x0為f（x）的不動點，{an}滿足an=f（an-1）（n≥2），則{an-x0}是以公比為a的等比數列。

證明：由x0是函數f（x）的一個不動點，知ax0+b=x0，即-ax0=b-x0。

于是an-x0=（a·an-1+b）-x0=a·an-1-ax0=a（an-1-x0）命題得證。

定理2：設 ，數列{un}

滿足un=f（un-1）（n≥2），且初始條件u1≠f（u1），則有：

（1）若f（x）有兩個不動點p，q則數列 是以公比為

的等比數列。（2）若f（x）只有一個不動點p，則數

列 是以公差為 的等差數列。

證明：（1）由題知 ，得： ，同理有：

。所以： 。

（2）p為f（u）唯一不動點，知 ，cp2+（d-a）p

-b=0， ， 。

故數列 是以公差為 的等差數列。

例1，（2005年高考·山東卷）已知數列{an}的首項為a1=5，前n項和為Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*），求{an}的通項公式。

解：由已知Sn+1=2Sn+n+5（n∈N*），得：

當n≥2時，Sn=2Sn-1+（n-1）+5，兩式相減得an+1=2an+1。當n=1時，由a1=5，所以a2=11，從而a2=2a1+1，故an+1=2an+1，對n∈N*成立。

令x=2x+1，求出不動點x=-1。由定理1得：數列{an+1}是公比為2的等比數列，所以an+1=（a1+1）·2n-1，故an=3·2n-1。

例2，〔2011年高考理科數學（必修+選修II）全國1卷〕

設{an}數列滿足a1=0，且 ，求{an}的通項公

式（注：本題只選其中一問作答）。

解：易得 聯想到an=f（an-1）（n≥2）形式，

恰好是不動點！令 得x=1。依據定理2（2）有d=-1，

所以 ，解得 。

例3，（2012年高考全國大綱卷理22）函數f（x）=x2-2x-3，定義數列{xn}如下：x1=2，xn+1是過兩點p（4，5）、Qn〔xn，f（xn）〕的直線pQn與x軸交點的橫坐標，求數列{xn}的通項公式。

解：由題意可得直線pQn的方程為 ，

令y=0，解得 ，又由方程 可得不動點

x1=-1，x2=3。

由定理2知數列 是以-3為首項5為公比的等比

數列，所以 ，故 。

參考文獻

[1]陳傳理、張同君.競賽數學教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2005

〔責任編輯：高照〕