遞推數(shù)列在解概率問(wèn)題上的應(yīng)用

摘 要：本文指出了遞推數(shù)列、概率有機(jī)結(jié)合的題型，體現(xiàn)了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)，探討了運(yùn)用遞推數(shù)列解答概率問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，分析了遞推數(shù)列與概率的綜合題對(duì)提高學(xué)生解題能力的作用。

關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列 概率 綜合 能力

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-9795（2013）06（c）-0090-02

遞推數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，概率是新教材所增加的內(nèi)容。二者的聯(lián)袂，使數(shù)學(xué)題增加了活力，也使在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處命題增加了新的亮點(diǎn)。這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法和提高解題能力十分有益。本文試圖對(duì)遞推數(shù)列在概率上的應(yīng)用做粗淺的分析研究。

例1：一種擲硬幣走跳棋的游戲：棋盤(pán)上有第0、1、2…100，共101站，一枚棋子開(kāi)始在第0站（即P0=1），由棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次。若硬幣出現(xiàn)正面則棋子向前跳動(dòng)一站，出現(xiàn)反面則向前跳動(dòng)兩站。直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失敗）時(shí)，游戲結(jié)束。已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率相同，設(shè)棋子跳到第n站時(shí)的概率為Pn。

（1）求。

（2）設(shè)（1≤n≤100），求證：數(shù)列是等比數(shù)列。

（3）求玩該游戲獲勝的概率。

解：設(shè)事件A發(fā)生的概率為P，若在A發(fā)生的條件下發(fā)生B的概率為P′，則由A產(chǎn)生B的概率為P·P′。根據(jù)這一事實(shí)解答下題。

（1）∵P0=1

∴P1=，，

（2）棋子跳到第n站，必是從第n-1站或第n-2站跳來(lái)的（2≤n≤100），

所以，

∴，

∴≤≤，且。

故{}是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列（1≤n≤100）。

（1）由（2）知，

故獲勝的概率為。

例1是一道跳棋游戲的應(yīng)用題，貼近學(xué)生生活，具有知識(shí)性，趣味性。不僅使學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)的遞推數(shù)列和概率的有關(guān)知識(shí)解答這一身邊的游戲性問(wèn)題，而且使枯燥，呆板的數(shù)學(xué)題充滿了活力和魅力，令學(xué)生感到學(xué)的輕松和愉悅。

例2：有人玩擲骰子動(dòng)棋的游戲，棋盤(pán)分為A、B兩方，開(kāi)始時(shí)把棋子放在A方，根據(jù)下列（1）、（2）、（3）的規(guī)定移動(dòng)棋子：（1）骰子出現(xiàn)1點(diǎn)時(shí)，不能動(dòng)棋子；（2）出現(xiàn)2，3，4，5點(diǎn)時(shí)，把棋子移向?qū)Ψ剑唬?）出現(xiàn)6點(diǎn)時(shí)，如果棋子在A方就不動(dòng)。如果在B方，就移至A。把骰子擲了n次后，棋子仍然在A方的概率記為Pn。

（1）對(duì)于任意n∈N，證明點(diǎn)（Pn，Pn+1）總在過(guò)定點(diǎn)，斜率為的直線上。

（2）求Pn。

解：（1）把骰子擲了n+1次，棋子仍在A方的概率為Pn+1，有兩種情況應(yīng)當(dāng)考慮：

①第n次棋子在A方，其概率為Pn，且第n+1次骰子出現(xiàn)1點(diǎn)或6點(diǎn)，不動(dòng)棋子其概率為，因此，第①種情況產(chǎn)生的概率為。

②第n次棋子在B方，其概率為1-Pn，且第n+1次骰子出現(xiàn)2，3，4，5或6點(diǎn)，其概率為，因此，第②種情況產(chǎn)生的概率為。

∴

易知

∴點(diǎn)（Pn，Pn+1）在過(guò)點(diǎn)，斜率為的直線上。

（2）

又∵（利用（1）的結(jié)論）

∴是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列。

∴

∴

例2雖然也是個(gè)玩棋的游戲問(wèn)題，但在第（1）問(wèn)中是把遞推數(shù)列構(gòu)造的等比數(shù)列表現(xiàn)形式進(jìn)一步延伸，改變問(wèn)法，變成了證明題。使之與解析幾何直線問(wèn)題密切結(jié)合，溝通了遞推數(shù)列、概率、解析幾何之間的聯(lián)系，拓展了學(xué)生的思維，培養(yǎng)了探究問(wèn)題的能力。再進(jìn)一步推廣，遞推數(shù)列，都可以化成第（1）題形式的證明題，起到了一題多變，多題一解的作用。

例3：已知正四面體A—BCD，有一只小蟲(chóng)自頂點(diǎn)A沿每一條棱以等可能的概率爬到另外三個(gè)頂點(diǎn)B、C、D。然后又從B、C、D中的一個(gè)頂點(diǎn)沿每一條棱以等可能的概率爬到其它三個(gè)頂點(diǎn)，依次進(jìn)行下去。記Pn為第n次到頂點(diǎn)A的概率（小蟲(chóng)剛開(kāi)始在A點(diǎn)，此時(shí)算作第1次到A，即記為P1=1）。

（1）求P n的通項(xiàng)公式。

（2）求第2005次爬行到頂點(diǎn)A的概率。

解：（1）由于第n次到頂點(diǎn)A是從B、C、D三個(gè)頂點(diǎn)爬行而來(lái)，從其中任何一個(gè)頂點(diǎn)到達(dá)A的概率都是，而第n—1次在頂點(diǎn)A與小蟲(chóng)在頂點(diǎn)B、C、D是對(duì)立事件，因此，第n次到達(dá)頂點(diǎn)A的概率為，即。∵

∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，

∴.

故

（2）第2005次爬行到頂點(diǎn)A的概率

小蟲(chóng)爬行問(wèn)題，小學(xué)初中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)過(guò)相關(guān)問(wèn)題。學(xué)生閱讀完例3，有我們?cè)嘧R(shí)的感覺(jué)。從而激發(fā)了學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，調(diào)動(dòng)了學(xué)生在新知識(shí)背景下解答小蟲(chóng)爬行問(wèn)題的積極性。由于用到對(duì)立事件原理，推導(dǎo)出遞推數(shù)列，使學(xué)生感到很新奇。同時(shí)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到解數(shù)學(xué)題也應(yīng)與時(shí)俱進(jìn)，從而培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)發(fā)展觀。

例4：從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)M，按向量a=（0，1）移動(dòng)的概率為，按向量b=（0，2）移動(dòng)的概率為。設(shè)M到達(dá)點(diǎn)（0，n）的概率為Pn，求Pn。

解：M到達(dá)點(diǎn)（0，n）有兩種情形：

（1）從點(diǎn)（0，n-1）按向量a=（0，1）移動(dòng)到點(diǎn)（0，n），此時(shí)概率為。

（2）從點(diǎn)（0，n-2）按向量b=（0，2）移動(dòng)到點(diǎn)（0，n），此時(shí)概率為。

因這兩種情形是互斥的，故有≥，

即≥。又易得

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。

于是≥

所以

向量與概率都是新教材重量級(jí)內(nèi)容，例4是用向量“包裝”的概率題，又以數(shù)列“一劍封喉”，創(chuàng)意新穎，別具匠心。例4的解答是學(xué)生所學(xué)向量，遞推數(shù)列、概率知識(shí)融為一體的綜合運(yùn)用，也是對(duì)學(xué)生知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的全面考查。

例5：質(zhì)點(diǎn)A位于數(shù)軸χ=0處，每隔1秒就向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位，設(shè)向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為。

（1）求經(jīng)過(guò)3秒后，質(zhì)點(diǎn)A在c=1處的概率。

（2）假若質(zhì)點(diǎn)B在c=0和c=1兩處之間移動(dòng)，并滿足：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)B在c=0處時(shí)，經(jīng)1秒后必移到c=1處，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)B在c=1處時(shí)經(jīng)1秒后分別以的概率停留在c=1處或移動(dòng)到c=0處。今質(zhì)點(diǎn)B在c=1處，記經(jīng)n秒后質(zhì)點(diǎn)在c=1處或移動(dòng)到c=0處。今質(zhì)點(diǎn)B在c=1處，記經(jīng)n秒后質(zhì)點(diǎn)在c=1處的概率為P n，建立P n+1與P n的關(guān)系式，并求出Pn。

解：（1）A到x=1對(duì)應(yīng)“兩右一左”的一個(gè)排列，

所以。

（2）質(zhì)點(diǎn)A經(jīng)n秒，在c=1處的概率

由此得。而，

所以。

所以。

學(xué)生在審題時(shí)，注意到關(guān)鍵詞“兩右一左”，才能確定第（1）題是求獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率。第（2）題是把條件進(jìn)一步拓寬。使問(wèn)題有了新高度，通過(guò)遞推數(shù)列構(gòu)造等比數(shù)列，使問(wèn)題迎刃而解。題目不偏不怪，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生敏銳地觀察能力和靈活的思維能力頗有益處。

以上可以看到，遞推數(shù)列與概率的綜合在數(shù)學(xué)命題中舉足輕重，再加上聯(lián)系其它知識(shí)，更是錦上添花，前景廣闊。

參考文獻(xiàn)

[1]薛金星.《中學(xué)教材全解》高二數(shù)學(xué)（下）[M].陜西人民教育出版社，2002.